Continuité en point

Plan du chapitre "Limites, continuité"

Continuité en un point

Dans toute la suite {I} est un intervalle de {\mathbb{R}}, d’intérieur non vide.

Définition (définition de la continuité en un point)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique, et soit {a} un élément de {I}. On dit que {f} est continue en {a} si la limite de {f} en {a} existe.
{f} étant définie en {a}, cela équivaut à : {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)}.
Donc {f} est continue en {a} si et seulement si : {\begin{array}{l}\forall\,\varepsilon>0,\;\exists\,\delta>0,\\[9pts]\quad(x\in I\;\text{et}\; |x-a|\le\delta)\Rightarrow|f(x)-f(a)|\le \varepsilon\end{array}}
Définition (prolongement par continuité)
Soit {I} un intervalle d’intérieur non vide. Soit {a} un élément de {I}.
Soit {f} une fonction numérique réelle définie sur {I\setminus\{a\}}.
On dit que {f} est prolongeable par continuité en {a} si la limite {\ell=\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)} existe et est finie.
Si on pose {f(a)=\ell}, la fonction {f} ainsi prolongée img continue en {a}.
On dit qu’on a effectué le prolongement par continuité de {f} au point {a}.

Exemple :
On représente ici une partie de la courbe de {f:x\mapsto \arctan(\tan^{2}(x))}.

Cette fonction est définie sauf aux {a_{k}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi}, mais {\displaystyle\lim_{x\to a_{k}^{-}}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to a_{k}^{+}}f(x)=\dfrac{\pi}{2}}.

Si on pose {f\Bigl(\dfrac{\pi}{2}+k\pi\Bigr)=\dfrac{\pi}{2}}, la fonction {f} devient continue en tout point de {\mathbb{R}} (elle est {\pi}-périodique).

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