Propriétés des limites

Plan du chapitre "Limites, continuité"

Opérations sur les limites

Proposition (limite et valeur absolue)
Si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell}, avec {\ell} dans {\mathbb{R}}, alors {\displaystyle\lim_{x\to a}\left|f(x)\right|=\left|\ell\right|}.

Ce résultat est encore valable si {\ell=\pm\infty}, à condition de noter {\left|{-\infty}\right|=\left|{+\infty}\right|=+\infty}.

L’existence de {\displaystyle\lim_{x\to a}\left|f(x)\right|} n’implique pas celle de {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)}, si on ne sait rien du signe de {f}.

En revanche, on a l’équivalence : {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{x\to a}\left|f(x)\right|=0}.

Si {\ell} est un réel, on a les équivalences : {\begin{array}{rl}\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell&\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{x\to a}(f(x)-\ell)=0\\[9pts]&\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{x\to a}\left|{f(x)-\ell}\right|=0\end{array}}

Proposition (limites et combinaisons linéaires)
On suppose que {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell} et {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\ell\,'}, avec {\ell} et {\ell\,'} dans {\mathbb{R}}.
Alors {\displaystyle\lim_{x\to a}(f+g)(x)=\ell+\ell\,'}.
Plus généralement, pour tout {(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^{2}}, on a : {\displaystyle\lim_{x\to a}(\alpha f+\beta g)(x)=\alpha\ell+\beta\ell\,'}.

Ce résultat s’étend à {\ell} ou {\ell'} dans {\{-\infty,+\infty\}}, à condition que {\alpha \ell+\beta \ell'} ait un sens dans {\overline{\mathbb{R}}}.

On ne peut en effet rien dire en général de {\displaystyle\lim_{x\to a}(f+g)(x)} si {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=+\infty} et {\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=-\infty}.

On dit dans ce cas qu’on est en présence de la forme indéterminée “{\infty-\infty}“.
Il faut alors faire une étude spécifique et “lever” cette indétermination.

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