Les questions [P] utilisent Python. Soit {n\ge1}. La matrice {A} est d’ordre {n+1} et ses indices vont de {0} à {n} :
{\begin{array}{ll}a_{i,i-1}=i/n&\text{si }1\le i\le n\\[4pt]a_{i,i+1}=1-i/n&\text{si }0\le i\lt n\\[4pt]a_{i,j}=0&\text{sinon}\end{array}}
1. [P] Écrire une fonction d’argument {n} renvoyant {A\in M_{n+1}(\mathbb R)}.
2. Pour une matrice {M=(m_{i,j})\in M_n(\mathbb R)}, {M\ge0} signifie que tous ses coefficients sont positifs ou nuls ; {M\gt0} signifie qu’ils sont tous strictement positifs. Supposons {M\ge0}. Montrer que {(M^m)_{i,j}\gt0} équivaut à l’existence de {i_0=i,\ldots,i_m=j} tels que {m_{i_q,i_{q+1}}\gt0} pour {0\le q\lt m}. Procéder par récurrence sur {m\ge1}.
3. Peut-on trouver {m} tel que {A^m\gt0} ? [P] On pourra conjecturer la réponse avec {n=5}.
4. Montrer que pour tous {i,j\in\{0,\ldots,n\}}, il existe {m\ge1} tel que {(A^m)_{i,j}\gt0}.
5. Montrer que {1} et {-1} sont valeurs propres de {A}.
6. (a) Dans {\mathbb R_n[X]}, montrer que {A^t} est la matrice, dans la base {(1,X,\ldots,X^n)}, de
{\varphi(U)=XU-\frac1n(X^2-1)U'}
{\varphi(U)=XU-\frac1n(X^2-1)U'}
6. (b) Soit {U} un vecteur propre unitaire de {\varphi} pour une valeur propre réelle {\lambda}. Soient {r,s} les multiplicités, éventuellement nulles, de {1} et {-1} dans {U}. Montrer que {r+s=n} et {\lambda=1-2r/n}. En déduire la forme nécessaire de {U}.
6. (c) Établir la réciproque. En déduire les spectres de {A} et {A^t}, ainsi qu’une base de diagonalisation de {\varphi}.
7. (a) Déterminer les limites des suites {(A^{2m})} et {(A^{2m+1})}.
7. (b) [P] Écrire une fonction renvoyant les deux limites et vérifier la cohérence pour {n=5}.