Pour {n\in\mathbb N}, on pose {a_n=4^{-n}\binom{2n}{n}}. On étudie {S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+x}}Les questions marquées [P] utilisent Python.
1. (a) Déterminer une relation simple entre {a_{n+1}} et {a_n}.
1. (b) [P] Écrire
seqa(n) renvoyant {[a_0,\ldots,a_n]}. Vérifier le résultat pour {n=5}.1. (c) [P] Écrire
somp(n,x) renvoyant {S_n(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{a_k}{k+x}}.1. (d) [P] Tracer {S_{100}} sur {[-4{,}001,4{,}001]}, avec 200 abscisses et des ordonnées limitées à {[-5,5]}. Ce choix évite les entiers négatifs ou nuls.
2. Montrer que {S} est définie sur {D=\mathbb R\setminus\mathbb Z_-} et y est de classe {C^\infty}.
3. (a) Montrer que, pour {|t|\lt1}, {\frac1{\sqrt{1-t}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nt^n}.
3. (b) En déduire, pour {x>0}, {S(x)=\int_0^1\frac{t^{x-1}}{\sqrt{1-t}}\,dt}.
On suppose désormais {x=p\in\mathbb N^*}.
4. (a) Montrer que {S(p)=\int_{-1}^1(1-u^2)^{p-1}\,du}.
4. (b) Calculer {K_{m,n}=\int_{-1}^1(1-u)^m(1+u)^n\,du} pour {(m,n)\in\mathbb N^2}.
4. (c) En déduire {\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+p}=\frac1{pa_p}} pour {p\ge1}.