Pour {A\in M_n(\mathbb C)}, on note {\chi_A} et {\pi_A} ses polynômes caractéristique et minimal. Pour {P=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_0}, la matrice compagnon {\Gamma_P} a des {1} sur la sous-diagonale, pour dernière colonne {(-a_0,\ldots,-a_{n-1})^t}, et des zéros ailleurs. On admet {\chi_{\Gamma_P}=P}.
On note {E_{i,j}} les matrices de la base canonique, et {T_{i,j}(\lambda)=I_n+\lambda E_{i,j}} pour {i\ne j}. Son inverse est {T_{i,j}(-\lambda)}.
1. Montrer que le polynôme minimal de {\Gamma_P} est {P}. Indication : considérer {(\Gamma_P^ke_1)_{0\le k\lt n}}.
2. Décrire les opérations donnant {T_{i,j}(\lambda)A}, {AT_{i,j}(\lambda)} et {T_{i,j}(\lambda)AT_{i,j}(\lambda)^{-1}}.
Soit {n\ge2} et {A} une matrice de Hessenberg supérieure dont la sous-diagonale est composée de {1} : {a_{i,j}=0} si {i\gt j+1} et {a_{j+1,j}=1}. Les coefficients sur et au-dessus de la diagonale sont quelconques.
3. (a) Montrer qu’il existe {\lambda} tel que {T_{1,2}(\lambda)AT_{1,2}(\lambda)^{-1}} ait la même forme, mais un premier coefficient diagonal nul.
3. (b) Montrer qu’il existe {T} triangulaire supérieure à diagonale unité telle que {T^{-1}AT=\Gamma_{\chi_A}}. Quel est le polynôme minimal de {A} ?