On pose {u_n=0} si l’écriture décimale de {n\ge1} comporte le chiffre {9}, et {u_n=1/n} sinon. On définit {S_0=0,\quad S_n=\sum_{k=1}^nu_k,\quad T_n=S_{10^{n+1}-1}-S_{10^n-1}}On note {A_n} l’ensemble des entiers {k\in[10^n,10^{n+1}[} dont l’écriture décimale ne comporte pas de {9}.
1. [P] Écrire
u(n), S(n), T(n) et afficher {S_{9999},S_{999},T_2,T_3}.2. Montrer que {\sum\limits_{k\ge1}u_k} converge. On cherchera ensuite une valeur approchée de sa somme.
3. Montrer que {T_{n+1}=\sum\limits_{p=0}^8\sum\limits_{k\in A_n}\frac1{10k+p}}.
4. En déduire {\frac9{10}T_n-\frac{36}{10^{n+2}}T_n\le T_{n+1}\le\frac9{10}T_n}
5. Posons {q=(1-4/10^4)\,9/10}. Montrer {\frac{q}{1-q}T_3\le\sum_{k=1}^{\infty}u_k-S_{9999}\le9T_3}En déduire un encadrement de la somme.
6. (a) On pose {v_n=0} si l’écriture décimale de {n} contient la séquence {2015}, et {v_n=1/n} sinon. Montrer que {\sum\limits_{n\ge1}v_n} converge.
6. (b) Proposer une méthode pour tracer un échantillon de couples {(N,T_N)}, où {T_N=\sum\limits_{n=1}^Nv_n}.