Les questions [P] utilisent Python. Soit {n\ge2}. Pour {A\in M_n(\mathbb R)}, on note {\operatorname{Sp}(A)} son spectre complexe et {\rho(A)=\max_{\lambda\in\operatorname{Sp}(A)}|\lambda|}. On identifie {A} à l’endomorphisme canoniquement associé.
Une matrice {A=(a_{i,j})} est stochastique si ses coefficients sont positifs ou nuls et si chaque ligne somme à {1}. Leur ensemble est noté {\mathcal H_n(\mathbb R)}. Les notations {A\ge0} et {A\gt0} désignent respectivement la positivité large et stricte de tous les coefficients.
1. (a) [P] Écrire une fonction istochastique(A,n) testant si une matrice carrée {A} de format {n} est stochastique.
1. (b) [P] Soit {A=\begin{pmatrix}0,4&0&0&0,6\\[4pt]0,1&0,3&0,5&0,1\\[4pt]0&0&0,5&0,5\\[4pt]0,3&0,2&0&0,5\end{pmatrix}}Montrer que {A} est stochastique. Déterminer ses éléments propres et {\rho(A)}. Calculer ses puissances successives et trouver le plus petit {k} tel que {A^k\gt0}. Afficher {A^{100}}.
1. (c) [P] Soit {v} un vecteur propre de {A^t} associé à sa valeur propre de module maximal. Déterminer le vecteur stochastique {\widehat v} de sa droite propre.
3. Pour {A\in\mathcal H_n(\mathbb R)}, montrer que {1} est valeur propre et que {\rho(A)\le1}. On pourra prendre une coordonnée de module maximal d’un vecteur propre et encadrer {|\lambda-a_{i,i}|}.
On suppose désormais qu’il existe {m\ge0} tel que {B=A^m\gt0}, et on pose {\mu=\min_{i,j}b_{i,j}}. Comme {n\ge2}, {I_n} n’est pas strictement positive, donc nécessairement {m\ge1}.
Pour {y\in\mathbb R^n}, on note {y^- =\min_jy_j}, {y^+=\max_jy_j} et {\delta(y)=y^+-y^-}. La matrice {B} est stochastique, donc {0\lt\mu\le1/n\le1/2}.
4. (a) i. Montrer que {y^-\le(Ay)^-\le(Ay)^+\le y^+}. En déduire, pour tout {k\ge0}, {\begin{array}{l}y^-\le(A^ky)^-\le(A^{k+1}y)^-\\[4pt]\le(A^{k+1}y)^+\le(A^ky)^+\le y^+\end{array}}
4. (a) ii. Soient {i_0,j_0} tels que {(By)_{i_0}=(By)^+} et {y_{j_0}=y^-}. Montrer que {(By)^+\le y^+-b_{i_0,j_0}\delta(y)\le y^+-\mu\delta(y)}. On admet de même {(By)^-\ge y^-+\mu\delta(y)}. En déduire {\delta(By)\le(1-2\mu)\delta(y)}.
4. (b) ii. En déduire que {(A^k)} converge vers une matrice stochastique {\widehat A} de rang {1}, dont toutes les lignes sont égales à un vecteur stochastique strictement positif {\widehat a}. Caractériser la projection vectorielle de matrice {\widehat A}.
Soit {A} une matrice stochastique possédant une valeur propre {\lambda} telle que {|\lambda|=1} et {\lambda\ne1}. Soit {x\ne0} un vecteur propre complexe associé, et {i} tel que {|x_i|=\max_j|x_j|}. On veut montrer que {\lambda} est une racine de l’unité.
Complément i. Montrer qu’il existe {j} tel que {x_j=\lambda x_i}.