On se donne {a_0\geq b_0\geq c_0\geq d_0>0} et l’on pose, pour {n\geq0}, {\begin{array}{l}a_{n+1}=(a_n+b_n+c_n+d_n)/4\\[4pt]b_{n+1}=(\sqrt{a_nb_n}+\sqrt{c_nd_n})/2\\[4pt]c_{n+1}=(\sqrt{a_nc_n}+\sqrt{b_nd_n})/2\\[4pt]d_{n+1}=(\sqrt{a_nd_n}+\sqrt{b_nc_n})/2\end{array}}
1. Avec Python, évaluer les premiers termes pour diverses valeurs initiales.
2. Comparer {a_n,b_n,c_n,d_n} dans le cas général.
3. Montrer que les quatre suites convergent vers une même limite {L}, et que chacune s’écrit {L+O(2^{-n})}.