Voici les problèmes d’algèbre que j’ai donnés, au fil des années, en DM ou en DS, dans ma classe de première année du lycée Saint-Louis. Vu le grand nombre de devoirs mis en ligne sur ce site, j’ai opté pour une distinction « Algèbre/Analyse » qui est une simple commodité de classement.
Problèmes, par thème
Raisonnements, calculs algébriques
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- Ce sujet est constitué de deux exercices, et il prend place en tout début d'année, au moment où on aborde les questions de rédaction et de logique.
Le premier exercice est une bonne (et amusante) introduction à l'utilisation des quantificateurs en logique propositionnelle.
Le second exercice traite de la simplification de propositions logiques.Un peu de logique (sujet)
- Ce problème est constitué de trois sujets, centrés sur le raisonnement par récurrence ou des questions de dénombrements.
Problème 1 : On étudie les propriétés caractéristiques de certaines sommes d'entiers.
Problème 2 : On résout l'équation fonctionnelle f(m²+n²)=f(m)²+f(n)².
Problème 3 : On s'intéresse à un problème de dénombrement (de combien de façons peut-on inscrire des carrés dans un damier).Entiers, dénombrements (sujet)
- On trouvera ici 18 exercices de bon niveau sur le thème du raisonnement par récurrence.Belles récurrences (partie 1) (partie 2) (partie 3)
- Ce problème est constitué de trois sujets indépendants.
Sujet 1 : On calcule le nombre de déplacements possibles d'un pion entre deux points du plan.
Sujet 2 : Un bel exemple de récurrence forte. On s'intéresse à une suite définie par récurrence, et on utilise le langage Python pour expérimenter la situation.
Sujet 3 : Là aussi, c'est un exemple (amusant) où Python permet d'expérimenter la situation.Récurrences et Python (sujet 1) (sujet 2) (sujet 3)
- Ce sujet est constitué de dix exercices, tous consacrés à l'utilisation du raisonnement par l'absurde.
Ces exercices sont variés mais tous de bon niveau, et ils mettront votre sagacité à l'épreuve.Raisonnements par l'absurde (partie 1) (partie 2)
- Un problème assez théorique mais formateur sur les applications entre finis et les propriétés des cardinaux.Sous-ensembles normaux (sujet)
- Ce sujet est constitué de dix exercices.
Il y a des exercices de pure logique, d'autres qui portent sur des questions de sommation, ou encore de dénombrement.
Tous ces exercices sont d'un assez bon niveau et demandent de la réflexion.Un florilège de 10 exercices (partie 1) (partie 2)
Ensembles finis, dénombrements
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- Ce problème étudie les déplacements d'un robot, partant de l'origine, et qui effectue des déplacements d'une unité dans une direction quelconque.
L'objet du problème est de calculer le nombre de trajectoires formées de n déplacements et qui se maintiennent dans le demi-plan y≥O.
Pour répondre à cette question, on expose deux méthodes distinctes.Déplacements dans ℤxℕ (Partie 1) (Partie 2)
- Ce sujet porte sur le calcul du nombre de surjections entre deux ensembles finis de cardinaux respectifs n et p.
C'est un problème classique, avec des calculs sur les dénombrements, les coefficients binomiaux, les techniques usuelles de sommations, et le raisonnement par récurrence.Surjections entre ensembles finis (sujet)
- Ce sujet porte sur le calcul du nombre de partitions d’un ensemble fini.
On relie ce nombre à celui des surjections entre deux ensembles finis.
On étudie le nombre de partitions en paires, et on en déduit le nombre d'involutions d'un ensemble fini.Partitions d'un ensemble fini (sujet)
- Ce problème est consacré à la question de la dénombrabilité.
On montre que toutes les parties infinies de l'ensemble ℕ des entiers naturels sont en bijection avec ℕ.
Dans une deuxième partie, on étudie des questions classiques relatives aux ensembles infinis dénombrables.Parties infinies de ℕ (sujet)
- Ce problème porte sur le calcul du nombre Dn de bijections d'un ensemble fini E de cardinal n et qui sont sans point fixe.
On trouve une relation sur le suite Dn et on en déduit un expression de Dn sous forme de somme.
Une autre méthode permet de retrouver ce résultat.
On termine par une application à une question classique de probabilité.Dérangements d'ensembles finis (sujet)
- On lance n fois un dé honnête. Cette n-partie est dit q-chanceuse si on n'a jamais obtenu q résultats successifs identiques.
Ce problème étudie la probabilité qu'une n-partie soit q-chanceuse.
On traite les cas particuliers q=2 et q=3, puis on généralise.
Ce problème est divisé en quatre parties.
Voila un bon sujet au croisement de l'analyse, des dénombrements, des suites et des probabilités.Lancers de dés chanceux (I) (II) (III) (IV)
Arithmétique et polynômes
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- Dans ce problème, on définit une suite de polynômes Pn par la donnée de P0 et P1, et par une relation entre trois polynômes consécutifs.
On étudie les propriétés des Pn (racines, expression générale, équation différentielle).Une suite de polynômes (sujet)
- Dans ce sujet complet et relativement exigeant, on étudie les polynômes qui satisfont à l'équation (E): P(X²)=P(X+a)P(X+b).
On étudie d'abord quelques cas particulier sur a et b.
On passe ensuite au cas général, et on voit l'importance du polynôme non nul de degré minimal satisfaisant à (E).Équation P(X2)=P(X+a)P(X+b) (sujet)
- Dans ce problème très classique, on étudie les propriétés des polynômes de Tchebychev Tn de première espèce (parité, terme dominant, racines, équation différentielle).
On termine par une propriété bien connue des Tn en matière de meilleure approximation.Polynômes de Tchebychev (I) (II) (III)
- Dans ce sujet au croisement du calcul polynomial et de l'algèbre linéaire, on étudie la notion de polynôme d'endomorphisme.
On démontre notamment le lemme des noyaux.
On applique ce résultat à la résolution d'équations différentielles linéaires d'ordre quelconque.Polynômes d'endomorphismes (sujet)
- On imagine un système fini de points fixés dans le plan. Chacun d'eux exerce une force d'attraction. Ce problème de géométrie étudie les points du plan qui restent en équilibre dans ce système de forces.Points d'équilibre dans le plan (sujet)
- Dans ce problème, on étudie les polynômes P tels que P(X) divise P(Xn), essentiellement dans les cas particuliers n=2 et n=3.
Voila un bon sujet sur les relations entre les racines et les coefficients d'un polynôme.Polynômes P(X) divisant P(Xn) (sujet)
- Un très joli sujet d'arithmétique des entiers.
On étudie quel est, en fonction de l'entier n, le dernier chiffre non nul dans l'écriture de n!.
On termine par une programmation du résultat avec le langage Python.Le dernier chiffre non nul de n! (sujet)
- Ce sujet propose une méthode classique pour calculer la somme de la série des 1/n2.
Tout part de la factorisation d'un polynôme à coefficients complexes, puis d'une relation entre coefficients et racines. Cela se termine par l'utilisation d'une inégalité trigonométrique.Somme des 1/n2 et polynômes (sujet)
- Un problème où on étudie les polynômes satisfaisant à une condition de divisibilité. La dernière partie est plus géométrique.Polynômes et racines (sujet)
Applications linéaires
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- Un sujet ultra-classique où on étudie les suites des noyeaux Ker(fk) et des images Im(fk) des itérées fk d'un endomorphisme f d'un espace vectoriel E. Bien travailler ce problème est une obligation.Images et noyaux itérés (sujet)
- On note ⟪f,g⟫= fg-gf le crochet de Lie de deux endomorphismes d'un espace vectoriel E.
On étudie les égalités ⟪f,g⟫=af+bg dans quelques cas particuliers, puis dans le cas général, notamment quand l'une des deux applications est un projecteur.Crochet de Lie et projecteurs (sujet)
- Dans ce problème d'algèbre linéaire, on s'intéresse aux combinaisons linéaires de Id, p, q et pq lorsque p et q sont deux projecteurs qui commutent.Sommes de projecteurs (sujet)
- Voici un sujet d'algèbre linéaire assez théorique.
On définit et on étudie la notion de transposée d'un endomorphisme (notion assez proche de la transposition des matrices).Transposition d'endomorphisme (sujet)
Matrices, systèmes
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- Ce sujet est composé de cinq exercices indépendants, sur le thème de la résolution de systèmes d'équations (notamment avec paramètre).
Deux de ces exercices contiennent une application à rédiger en langage Python.Systèmes d'équations (sujet)
- Ce problème porte sur le calcul des puissances d'une matrice A particulière, et on expose pour cela quatre méthodes différentes.
On étudie ensuite l'ensemble des matrices qui commutent avec A.Puissances de matrices (sujet)
- Ce problème, assez technique, porte sur l'étude de suites arithmético-géométriques de matrices. Cela demande une certaine dextérité dans la résolution des différentes récurrences.Récurrences matricielles (sujet)
- On étudie ici des sous-groupes de matrices inversibles.
On applique ensuite les résultats obtenus à la recherche de triplets d'entiers (x,y,z) tels que x²+y²=z².Matrices et triplets pythagoriciens (sujet)
- Le premier problème consiste à calculer l'inverse (par la méthode du pivot d'une matrice A de type 4x4, puis ses puissances à exposants relatifs.
Le deuxième problème étudie un sous-groupe de matrices inversibles dépendant d'un paramètre.Deux sujets de calcul matriciel (sujet)
- Dans ce problème, on étudie la sous-algèbre de M3(ℂ) engendrée par une matrice A.
On détermine les matrices inversibles dans cette sous-algèbre.
On identifie le commutant de A, ainsi que ses racines carrées.Étude d'une algèbre de matrices (sujet)
- Voici un problème de calcul matriciel de très bon niveau.
Dans une première partie, on voit une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice A admette une décomposition LU.
Dans la partie 2, on prouve un algorithme aboutissant à cette décomposition.
On étudie ensuite le cas plus général de la décomposition PA=LU.
Trois autres parties terminent ce tour d'horizon.Décomposition LU d'une matrice (sujet)
- Ce problème sans difficultés mais un peu technique est consacré à l'étude d'une famille de matrices dépendant d'un paramètre.Étude d'une famille de matrices (sujet)
- Ce problème très complet (et parfois un peu théorique dans sa première partie) porte sur les propriétés de l'ensemble des matrices magiques d'ordre n.
La dernière partie propose une description complète de l'ensemble des matrices magiques d'ordre 3.Matrices et carrés magiques (sujet)
- Dans ce sujet, on montre qu'une matrice carrée à diagonale dominante est inversible.
On étudie ensuite un algorithme d'approximation de l'inverse de cette matrice.
On termine par une application numérique.Systèmes à diagonale dominante (sujet)
- Ce problème est consacré à l'étude d'une matrice M dépendant d'un paramètre. On calcule les puissances de M par des méthodes d'algèbre linéaire, ou par du pur calcul matriciel.Une famille de matrices paramétrées (sujet)
- Dans ce problème, on se donne une matrice A tridiagonale de taille n.
On propose un algorithme itératif aboutissant à la décomposition LU de A par des opérations élémentaires sur les lignes.
On en déduit le déterminant de A (et on retrouve ce résultat par une méthode directe)Une décomposition LU (sujet)
Déterminants
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- On étudie une famille de matrices dont le déterminant est lié aux polynômes de Chebyshev de deuxième espèce.
On en déduit la résolution d'un système linéaire de taille n et dépendant d'un paramètre.Un système tridiagonal symétrique (sujet)
- Ce problème est consacré à l'étude des propriétés des déterminant dits circulants.
On considère d'abord le cas particulier d'un déterminant d'ordre 4.
On généralise ensuite (et de deux manières différentes) au cas des déterminants d'ordre quelconque.Déterminants circulants (sujet)
- Dans ce problème, on étudie une famille de déterminants d'ordre 3 et dépendant de deux paramètres.
Le sujet mêle des questions purement matricielles, géométriques, et d'algèbre linéaire.Matrices et déterminants (sujet)
- Ce problème est consacré à l'étude des déterminants de Hankel.
Dans un premier temps, on établit des propriétés classiques de la comatrice.
On établit ensuite une relation entre les déterminants de Hankel est les suites récurrentes linéaires d'ordre n.
On termine sur un exemple.Déterminants de Hankel (sujet)
- Ce sujet assez théorique aborde plusieurs chapitres: espaces vectoriels de dimension finie, déterminants, systèmes linéaires, équations différentielles.Translatées d'une application (sujet)
- Ce problème est consacré à l'étude d'un déterminant d'ordre n, dépendant d'un paramètre.
On aborde plusieurs méthodes de calcul de ce déterminant.Un déterminant à paramètre (sujet)
Produits scalaires, espaces euclidiens
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- Ce sujet est composé de six exercices indépendants de géométrie euclidienne (orthogonalité)Exercices de géométrie euclidienne (sujet)
- Dans ce problème très complet, on introduit un endomorphisme de l'espace des polynômes à coefficients réels.
On en détermine les vecteurs propres.
On relie ensuite le résultat à l'étude d'un produit scalaire.Produit scalaire de polynômes (sujet)
- Dans ce problème, on étudie une famille de matrices antisymétriques d'ordre 3.
On en déduit une famille de matrices orthogonales dont on étudie la nature géométrique.Matrices orthogonales (sujet)
- On définit la matrice de Gram associée à une famille de m vecteurs d'un espace euclidien.
On étudie les propriétés du déterminant d'une telle matrice.
On en déduit une expression de la distance à un sous-espace.Matrices de Gram (sujet)
- Dans ce problème très formateur, on étudie les familles obtusangles d'un espace euclidien de dimension m.
On voit qu'une telle famille est nécessairement de cardinal au plus m+1.
On voit enfin comment construire une telle famille.Familles obtusangles (sujet)