Un peu de logique

Cette page propose deux problèmes (faciles) de logique mathématique.

Dans le sujet 1, on traduit des phrases logiques (exprimées en langage courant) en propositions mathématiques à base de quantificateurs.

Dans le sujet 2, on simplifie des propositions contenant des opérateurs « ou » et « et ».

Problème 1

On note {C} une classe, {G} l’ensemble des garçons de {C}, et {F} l’ensemble des filles de {C}.

On va former des propositions sur l’âge et/ou les relations d’amitié entre éléments de {C}.

Pour dire qu’un élève {x} est plus jeune qu’un élève {y} (ou que {y} est plus vieux que {x}), on notera {x\le y}.

Pour ce qui est des relations d’amitié, et si on note {x,y} deux élèves de la classe (éventuellement le même) une phrase comme « {x} aime {y} » s’écrira {x\;\heartsuit\;y}.

Et pour dire que {x} n’aime pas {y}, on écrira {x\begin{matrix}\heartsuit\\[-1.2em]{\Large\times}\end{matrix} y}.

Dans les questions suivantes, on demande de traduire des phrases (librement exprimées en français) en de pures propositions logiques avec quantificateur.

Question 1.
« Tout le monde aime tout le monde »
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
{\forall\, x\in C,\;\forall\, y\in C,\; x\;\heartsuit\;y}
Question 2.
« Personne n’aime personne »
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
{\forall\, x\in C,\;\exists\, y\in C,\; x\;\heartsuit\;y}
Question 3.
« Personne ne s’aime »
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
{\forall\, x\in C,\;x\begin{matrix}\heartsuit\\[-1.2em]{\Large\times}\end{matrix} x}
Question 4.
« Tout le monde aime quelqu’un »
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
{\forall\, x\in C,\;\exists\, y\in C,\;x\;\heartsuit\;y}
Question 5.
« Chaque fois que deux garçons aiment une même fille, ces deux garçons ne s’aiment pas »
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 6.
« L’amitié n’est pas toujours un sentiment réciproque »
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 7.
« Il arrive qu’une amitié soit payée de retour »
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 8.
« Les amis de mes amis sont mes amis »
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 9.
« Le plus âgé des élèves est un garçon et il aime toutes les filles »
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 10.
« Le plus âgé des garçons aime la plus jeune des filles »
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).

Problème 2

On définit des propositions {A,B,C,P,Q} etc.

On note {\neg P} la négation de {P}.

On note {P\wedge Q} la proposition « {P\;\text{et}\;Q\;}».

On note {P\vee Q} la proposition « {P\;\text{ou}\;Q\;}».

On note {V} la proposition « toujours vraie » et {F} la proposition « toujours fausse ».

Question 1.
Simplifier les propositions suivantes :

{\begin{array}{cc}(a)\ A\vee V&(b)\ A\wedge F\\[6pt](c)\ A\vee \neg A&(d)\ \neg(\neg A\vee V)\end{array}}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 2.
Simplifier les propositions suivantes :

{\begin{array}{cc}(a)\ A\Rightarrow V&(b)\ A\Rightarrow F\\[6pt](c)\ F\Rightarrow A&(d)\ V\Rightarrow\neg A\end{array}}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 3.
Simplifier les propositions suivantes :

{\begin{array}{c}(a)\ (A\Rightarrow B)\wedge(A\Rightarrow \neg B)\\[6pt](b)\ (A\Rightarrow B)\wedge(B\Rightarrow \neg A) \\[6pt](c)\ (A\Rightarrow B)\vee(B\Rightarrow A)\end{array}}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 4.
Simplifier les propositions suivantes :

{\begin{array}{cc}(a)\ A\vee(A\Rightarrow B)&(b)\ A\wedge(A\Rightarrow B)\\[6pt](c)\ (A\Rightarrow B)\Rightarrow A&(d)\ A\Rightarrow (A\Rightarrow B)\\[6pt](e)\ A\Rightarrow (B\Rightarrow A)\end{array}}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 5.
Simplifier la proposition suivante :

{(A\vee \neg B)\wedge(B\vee\neg C)\wedge(C\vee\neg A)\wedge A}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).