Cette page propose deux problèmes (faciles) de logique mathématique.
Dans le sujet 1, on traduit des phrases logiques (exprimées en langage courant) en propositions mathématiques à base de quantificateurs.
Dans le sujet 2, on simplifie des propositions contenant des opérateurs « ou » et « et ».
Problème 1
On note {C} une classe, {G} l’ensemble des garçons de {C}, et {F} l’ensemble des filles de {C}.
On va former des propositions sur l’âge et/ou les relations d’amitié entre éléments de {C}.
Pour dire qu’un élève {x} est plus jeune qu’un élève {y} (ou que {y} est plus vieux que {x}), on notera {x\le y}.
Pour ce qui est des relations d’amitié, et si on note {x,y} deux élèves de la classe (éventuellement le même) une phrase comme « {x} aime {y} » s’écrira {x\;\heartsuit\;y}.
Et pour dire que {x} n’aime pas {y}, on écrira {x\begin{matrix}\heartsuit\\[-1.2em]{\Large\times}\end{matrix} y}.
Dans les questions suivantes, on demande de traduire des phrases (librement exprimées en français) en de pures propositions logiques avec quantificateur.
| Question 1. « Tout le monde aime tout le monde » |
| Question 2. « Personne n’aime personne » |
| Question 3. « Personne ne s’aime » |
| Question 4. « Tout le monde aime quelqu’un » |
| Question 5. « Chaque fois que deux garçons aiment une même fille, ces deux garçons ne s’aiment pas » |
| Question 6. « L’amitié n’est pas toujours un sentiment réciproque » |
| Question 7. « Il arrive qu’une amitié soit payée de retour » |
| Question 8. « Les amis de mes amis sont mes amis » |
| Question 9. « Le plus âgé des élèves est un garçon et il aime toutes les filles » |
| Question 10. « Le plus âgé des garçons aime la plus jeune des filles » |
Problème 2
On définit des propositions {A,B,C,P,Q} etc.
On note {\neg P} la négation de {P}.
On note {P\wedge Q} la proposition « {P\;\text{et}\;Q\;}».
On note {P\vee Q} la proposition « {P\;\text{ou}\;Q\;}».
On note {V} la proposition « toujours vraie » et {F} la proposition « toujours fausse ».
| Question 1. Simplifier les propositions suivantes : {\begin{array}{cc}(a)\ A\vee V&(b)\ A\wedge F\\[6pt](c)\ A\vee \neg A&(d)\ \neg(\neg A\vee V)\end{array}} |
| Question 2. Simplifier les propositions suivantes : {\begin{array}{cc}(a)\ A\Rightarrow V&(b)\ A\Rightarrow F\\[6pt](c)\ F\Rightarrow A&(d)\ V\Rightarrow\neg A\end{array}} |
| Question 3. Simplifier les propositions suivantes : {\begin{array}{c}(a)\ (A\Rightarrow B)\wedge(A\Rightarrow \neg B)\\[6pt](b)\ (A\Rightarrow B)\wedge(B\Rightarrow \neg A) \\[6pt](c)\ (A\Rightarrow B)\vee(B\Rightarrow A)\end{array}} |
| Question 4. Simplifier les propositions suivantes : {\begin{array}{cc}(a)\ A\vee(A\Rightarrow B)&(b)\ A\wedge(A\Rightarrow B)\\[6pt](c)\ (A\Rightarrow B)\Rightarrow A&(d)\ A\Rightarrow (A\Rightarrow B)\\[6pt](e)\ A\Rightarrow (B\Rightarrow A)\end{array}} |
| Question 5. Simplifier la proposition suivante : {(A\vee \neg B)\wedge(B\vee\neg C)\wedge(C\vee\neg A)\wedge A} |