Dans tout le problème, {n} est un entier supérieur ou égal à {2}. On désigne par {\mathcal M_n(\mathbb R)} l’algèbre des matrices carrées d’ordre {n} à coefficients réels.
Pour tout {A\in\mathcal M_n(\mathbb R)}, on note {a_{ij}} le coefficient de {A} en ligne {i}, colonne {j}. On note {A=(a_{ij})}.
On note {I_n} la matrice identité d’ordre {n}, et {J_n} la matrice de {\mathcal M_n(\mathbb R)} dont tous les coefficients valent {1}.
On note {(E_{ij})} la base canonique de {\mathcal M_n(\mathbb R)} : pour tout couple {(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2}, {E_{ij}} est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé en position {(i,j)}, qui vaut {1}.
Pour toute matrice {A=(a_{ij})} et tous entiers {i,j\in\{1,\ldots,n\}}, on note :{\varphi_i(A)=\sum_{k=1}^na_{ik}}{\psi_j(A)=\sum_{k=1}^na_{kj}}{\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^na_{ii}}{\delta(A)=\sum_{i=1}^na_{i,n+1-i}}Ainsi :
{\varphi_i(A)} est la somme des coefficients de la {i}-ième ligne de {A}.
{\psi_j(A)} est la somme des coefficients de la {j}-ième colonne de {A}.
{\operatorname{tr}(A)} est la somme des coefficients de la diagonale principale de {A} (la trace de {A}).
{\delta(A)} est la somme des coefficients de la diagonale non principale de {A}.
On note {\mathcal P_n} l’ensemble des matrices {A\in\mathcal M_n(\mathbb R)} telles que, pour tous {i,j\in\{1,\ldots,n\}}, {\varphi_i(A)=\psi_j(A)}.
Pour toute matrice {A\in\mathcal P_n}, on note {\sigma(A)} la valeur commune des quantités {\varphi_i(A)} et {\psi_j(A)}.
On note {\mathcal Q_n} le sous-ensemble de {\mathcal P_n} des matrices {A} qui vérifient en outre {\operatorname{tr}(A)=\delta(A)=\sigma(A)}. Les matrices de {\mathcal P_n} sont dites semi-magiques ; celles de {\mathcal Q_n} sont dites magiques.
On dit qu’une matrice magique {A\in\mathcal M_n(\mathbb R)} est un carré magique d’ordre {n} si l’ensemble des coefficients de {A} est égal à {\{1,2,\ldots,n^2\}}.
Par exemple,{A=\begin{pmatrix}8&1&6\\[4pt]3&5&7\\[4pt]4&9&2\end{pmatrix}}{B=\begin{pmatrix}16&2&3&13\\[4pt]5&11&10&8\\[4pt]9&7&6&12\\[4pt]4&14&15&1\end{pmatrix}}{C=\begin{pmatrix}17&24&1&8&15\\[4pt]23&5&7&14&16\\[4pt]4&6&13&20&22\\[4pt]10&12&19&21&3\\[4pt]11&18&25&2&9\end{pmatrix}}sont des carrés magiques d’ordres respectifs {3,4,5}.
Partie I
1.Question préliminaire. Soit {\mathcal E} un espace vectoriel de dimension finie {n\geq1}. Soit {f_1,f_2,\ldots,f_p} une famille de {p} formes linéaires indépendantes sur {\mathcal E}, avec {1\leq p\leq n}.
Soit{\mathcal H=\{x\in\mathcal E\mid f_1(x)=\cdots=f_p(x)=0\}}Montrer que {\mathcal H} est un sous-espace vectoriel de dimension {n-p} de {\mathcal E}.
Indication : compléter la famille {f_1,\ldots,f_p} en une base {(f)} du dual de {\mathcal E}, puis introduire la base {(e)} de {\mathcal E} dont {(f)} est la base duale.
5. Dans cette question, on cherche la dimension de {\mathcal P_n}. Pour tout {i\in\{1,\ldots,n-1\}}, on pose{\Phi_i=\varphi_i-\varphi_n,\quad\Psi_i=\psi_i-\varphi_n}
5. (a). Montrer que les formes linéaires {\Phi_1,\ldots,\Phi_{n-1},\Psi_1,\ldots,\Psi_{n-1}} sont indépendantes.
5. (b). Montrer qu’une matrice {A\in\mathcal M_n(\mathbb R)} appartient à {\mathcal P_n} si et seulement si{\begin{array}{l}\Phi_1(A)=\cdots=\Phi_{n-1}(A)=0,\\[4pt]\Psi_1(A)=\cdots=\Psi_{n-1}(A)=0\end{array}}
6. Dans cette question, on cherche la dimension de {\mathcal Q_n}. On rappelle que l’application {A\mapsto\sigma(A)} est la forme linéaire définie sur {\mathcal P_n} par la restriction commune à {\mathcal P_n} de chacune des formes linéaires {\varphi_i} et {\psi_j}.
6. (a). Identifier les matrices de {\mathcal P_2} et celles de {\mathcal Q_2}.
6. (b). On suppose provisoirement {n\geq3}. Soient {f,g} les formes linéaires sur {\mathcal P_n} définies, pour tout {A\in\mathcal P_n}, par{\left\{\begin{array}{l}f(A)=\operatorname{tr}(A)-\sigma(A),\\[4pt]g(A)=\delta(A)-\sigma(A)\end{array}\right\}}Montrer que {f} et {g} sont indépendantes. Indication : utiliser deux matrices particulières {A\in\mathcal P_n} telles que {\sigma(A)=0}.
6. (c). Déduire de ce qui précède que {\mathcal Q_n} est un sous-espace vectoriel de {\mathcal M_n(\mathbb R)}, de dimension {n^2-2n} si {n\geq3}, et de dimension {1} si {n=2}.
1. Montrer que {A\in\mathcal M_n(\mathbb R)} appartient à {\mathcal P_n} si et seulement s’il existe {\lambda\in\mathbb R} tel que {AJ_n=J_nA=\lambda J_n}. Quelle est alors la signification de {\lambda} ?
4. (a). On suppose que {A} est inversible. Montrer alors que {\sigma(A)} est non nul, que {A^{-1}\in\mathcal P_n} et que{\sigma(A^{-1})=\dfrac1{\sigma(A)}}
1. (c). On note {\beta=b_{11}} et {\gamma=b_{31}}. Exprimer {B} en fonction de {\alpha,\beta,\gamma}. Montrer que{A=\begin{pmatrix}\beta+\alpha&-\beta+\gamma+\alpha&-\gamma+\alpha\\[4pt]-\beta-\gamma+\alpha&\alpha&\beta+\gamma+\alpha\\[4pt]\gamma+\alpha&\beta-\gamma+\alpha&-\beta+\alpha\end{pmatrix}}
1. (d). Réciproquement, vérifier que l’expression précédente de {A} donne toutes les matrices de l’espace vectoriel {\mathcal Q_3}. Retrouver ainsi que {\mathcal Q_3} est de dimension {3} et en préciser une base.
2. On reprend l’expression générale de la matrice {A\in\mathcal Q_3} vue dans la question 1(c).
2. (a). Montrer que {A} est à coefficients dans {\mathbb N} si et seulement si {\alpha,\beta,\gamma} sont des entiers relatifs vérifiant les conditions {|\beta+\gamma|\leq\alpha} et {|\beta-\gamma|\leq\alpha}.
Montrer que {A} est à coefficients dans {\mathbb N^*} si et seulement si ces inégalités sont strictes, les paramètres restant entiers.
2. (b). Montrer que ces deux conditions sur {\alpha,\beta,\gamma} équivalent à dire que le point {\Omega(\beta,\gamma)} du plan appartient (respectivement est intérieur) au domaine carré {K_\alpha} dont les sommets sont les points {(\pm\alpha,0)} et {(0,\pm\alpha)}.
2. (c). Pour tout entier naturel {\alpha}, déterminer le nombre de points à coordonnées entières qui appartiennent à la frontière du domaine {K_\alpha}, puis le nombre de tels points qui appartiennent à {K_\alpha} (bords compris).