On note :
{A=\left(\begin{array}{rrr}0&1&-1\\[4pt]-3&4&-3\\[4pt]-1&1&0\end{array}\right)}et :
{\Delta=\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&2\end{array}\right).}Dans la suite, {I} désigne la matrice identité d’ordre {3}.
1. Calcul de l’inverse de {A}
1. (a) Calculer {A^2-3A}. En déduire que {A} est inversible et calculer {A^{-1}}.
1. (b) Retrouver l’inversibilité de {A} et la valeur de {A^{-1}} par la méthode du pivot.
2. Calcul des puissances de {A}
(a) Première méthode
Pour tout {n} de {\mathbb N}, on pose {B_n=A^n+A-2I} (par convention {A^0=I}).
2. (a) i. Montrer successivement que pour tout {n} de {\mathbb N}, on a :
{\begin{array}{l}A^{n+2}-2A^{n+1}=A^{n+1}-2A^n;\\[4pt]A^{n+2}=2A^{n+1}+A-2I;\\[4pt]B_{n+2}=2B_{n+1}.\end{array}}
{\begin{array}{l}A^{n+2}-2A^{n+1}=A^{n+1}-2A^n;\\[4pt]A^{n+2}=2A^{n+1}+A-2I;\\[4pt]B_{n+2}=2B_{n+1}.\end{array}}
2. (a) ii. Déduire de ce qui précède l’expression de {A^n} pour tout {n} de {\mathbb N}.
(b) Deuxième méthode
On pose {C=A-I} et {D=2I-A}.
2. (b) i. Pour tout {n} de {\mathbb N}, calculer {C^n} et {D^n}.
2. (b) ii. Exprimer {A} en fonction de {C} et {D}. Retrouver ainsi {A^n} pour {n} dans {\mathbb N}.
(c) Troisième méthode
2. (c) i. Montrer qu’il existe des suites {(\alpha_n),(\beta_n)} telles que {\forall n\in\mathbb N,\ A^n=\alpha_nA+\beta_nI}.
2. (c) ii. Calculer {\alpha_n} et {\beta_n} et retrouver ainsi l’expression de {A^n}.
(d) Quatrième méthode
On définit la matrice :
{P=\left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\[4pt]1&0&3\\[4pt]0&-1&1\end{array}\right).}
2. (d) i. Calculer {P^{-1}} puis {\Delta=P^{-1}AP}.
2. (d) ii. En déduire à nouveau l’expression de {A^n}, pour tout {n} de {\mathbb N}.
(e) Puissances négatives de {A}
2. (e) La formule donnant {A^n} est-elle encore vraie pour les exposants strictement négatifs ?
3. Matrices commutant avec {A}
Pour toute matrice {M} de {\mathcal M_3(\mathbb R)}, on note {\mathcal C(M)=\{N\in\mathcal M_3(\mathbb R),\ MN=NM\}}.
3. (a) Pour {M} dans {\mathcal M_3(\mathbb R)}, montrer que {\mathcal C(M)} est une sous-algèbre de {\mathcal M_3(\mathbb R)}.
3. (b) Montrer si {N} est inversible, alors {N\in\mathcal C(M)\Rightarrow N^{-1}\in\mathcal C(M)}.
3. (c) Déterminer {\mathcal C(\Delta)}.
3. (d) Soient {M,N} dans {\mathcal M_3(\mathbb R)}, et soit {Q} une matrice inversible de {\mathcal M_3(\mathbb R)}.
Montrer l’équivalence : {N\in\mathcal C(M)\Longleftrightarrow Q^{-1}NQ\in\mathcal C(Q^{-1}MQ)}.
Montrer l’équivalence : {N\in\mathcal C(M)\Longleftrightarrow Q^{-1}NQ\in\mathcal C(Q^{-1}MQ)}.
3. (e) En utilisant la question (2.d.i), déterminer {\mathcal C(A)}.
Indication : on cherchera à obtenir le résultat sous la forme {N=\sum\limits_{k=1}^5\lambda_kJ_k}, où les {\lambda_k} sont des réels quelconques et où les {J_k} sont des éléments fixés de {\mathcal M_3(\mathbb R)}.
Indication : on cherchera à obtenir le résultat sous la forme {N=\sum\limits_{k=1}^5\lambda_kJ_k}, où les {\lambda_k} sont des réels quelconques et où les {J_k} sont des éléments fixés de {\mathcal M_3(\mathbb R)}.