Soit {(P_n)_{n\geqslant0}} une suite de polynômes de la variable {x}, définie par les relations :
{\begin{array}{l}P_0(x)=2,\quad P_1(x)=x+\dfrac12,\\[8pt]\forall n\geqslant2,\quad16P_n(x)-8(2x+1)P_{n-1}(x)+P_{n-2}(x)=0.\end{array}}On notera {P'_n} le polynôme dérivé de {P_n}.
1. (a) Expliciter {P_2}, {P_3}, {P_4}.
1. (b) Déterminer le degré de {P_n} et le coefficient de son terme de plus haut degré.
1. (c) Établir une relation entre {P_n(x)} et {P_n(-x-1)}.
1. (d) Établir une relation analogue entre {P'_n(x)} et {P'_n(-x-1)}.
1. (e) Montrer que si {\alpha} est racine de {P_n}, il en est de même de {-1-\alpha}.
1. (f) Montrer qu’il existe une racine commune à tous les {P_{2n+1}} et à tous les {P'_{2n}}.
2. Dans cette question, on suppose que {-1\leqslant x\leqslant0}.
2. (a) Justifier l’existence de {\theta} dans {\left[0,\dfrac\pi2\right]} tel que {x=-\cos^2\theta}.
Dans la suite, on pose {f_n(\theta)=P_n(-\cos^2\theta)} et {g_n(\theta)=P'_n(-\cos^2\theta)}.
2. (b) Exprimer {f_1(\theta)} en fonction de {\cos2\theta} et {f_2(\theta)} en fonction de {\cos4\theta}.
2. (c) Pour {n} de {\mathbb N}, déterminer {\lambda_n} tel que {f_n(\theta)=\lambda_n\cos2n\theta}.
2. (d) Déterminer l’ensemble des racines de {P_n}, pour tout {n\geqslant1}.
2. (e) On suppose {0\lt\theta\lt\dfrac\pi2}. Pour {n\geqslant1}, exprimer {g_n(\theta)} en fonction de {\dfrac{\sin2n\theta}{\sin2\theta}}.
En déduire l’ensemble des racines du polynôme {P'_n}.
2. (f) Calculer {P_n(0)}, {P_n(-1)}, {P'_n(0)}, {P'_n(-1)} et {P'_{2n}\left(-\dfrac12\right)} pour {n\geqslant1}.
3. Dans cette question, on suppose que {x\lt-1} ou {x>0}.
3. (a) Déterminer deux fonctions {\lambda} et {\mu}, linéairement indépendantes, telles que pour tous réels {a} et {b}, la suite de fonctions {(z_n)_{n\geqslant0}} définie par {z_n(x)=a\lambda^n(x)+b\mu^n(x)} vérifie :
{\forall n\geqslant2,\quad z_{n-2}(x)-8(2x+1)z_{n-1}(x)+16z_n(x)=0.}
{\forall n\geqslant2,\quad z_{n-2}(x)-8(2x+1)z_{n-1}(x)+16z_n(x)=0.}
3. (b) Déterminer {(a,b)} dans {\mathbb R^2} tel que : {\forall n\in\mathbb N,\ P_n(x)=a\lambda^n(x)+b\mu^n(x)}.
4. Montrer que la famille {(P_n)_{n\geqslant0}} vérifie l’équation différentielle :
{\begin{array}{l}\forall x\in\mathbb R,\ \forall n\in\mathbb N,\\[8pt]2x(x+1)P''_n(x)+(2x+1)P'_n(x)-2n^2P_n(x)=0.\end{array}}Indication : partir de {P_n(-\cos^2\theta)=\lambda_n\cos2n\theta} et dériver par rapport à {\theta}.
{\begin{array}{l}\forall x\in\mathbb R,\ \forall n\in\mathbb N,\\[8pt]2x(x+1)P''_n(x)+(2x+1)P'_n(x)-2n^2P_n(x)=0.\end{array}}Indication : partir de {P_n(-\cos^2\theta)=\lambda_n\cos2n\theta} et dériver par rapport à {\theta}.