Exercices de géométrie euclidienne

Notations

Si {x,y,b} sont des éléments de {\mathbb R^n}, avec {n\in\mathbb N^*}, on note {X,Y,B} les matrices colonnes de leurs composantes dans la base canonique.

Pour tout {n\geqslant1}, on munit {\mathbb R^n} de son produit scalaire canonique {(x\mid y)=X^{\mathsf T}Y}, et de la norme associée {\|x\|=\sqrt{(x\mid x)}}.

Exercice 1

Soit {p} l’endomorphisme de {\mathbb R^4} de matrice {M=\frac12\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\[4pt]0&1&0&-1\\[4pt]-1&0&1&0\\[4pt]0&-1&0&1\end{pmatrix}}dans la base canonique.

1. Montrer que {p} est un projecteur orthogonal.

2. Donner une base orthonormale de {\operatorname{Im}p} et une base orthonormale de {\ker p}.

Exercice 2

Soit {f} l’endomorphisme de {\mathbb R^3} de matrice {A=\begin{pmatrix}3&2&2\\[4pt]2&2&0\\[4pt]2&0&4\end{pmatrix}}dans la base canonique.

1. On pose {\begin{array}{l}\varepsilon_1=\dfrac13(-2,2,1)\\[4pt]\varepsilon_2=\dfrac13(1,2,-2)\\[4pt]\varepsilon_3=\dfrac13(-2,-1,-2)\end{array}}Montrer que {(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)} est une base orthonormale de {\mathbb R^3} dans laquelle la matrice de {f} est diagonale.

2. Donner l’expression de {A^n} pour tout {n\in\mathbb N^*}.

Exercice 3

Soient {F,G} deux sous-espaces vectoriels de {\mathbb R^n}, avec {n\geqslant1}.

1. Montrer que {(F+G)^\perp=F^\perp\cap G^\perp}.

2. Montrer que {(F\cap G)^\perp=F^\perp+G^\perp}.

Exercice 4

Soient {p,r} deux projecteurs orthogonaux de {\mathbb R^n}, avec {n\geqslant1}, tels que {p\circ r=r\circ p}.

1. Montrer que {p\circ r} est un projecteur orthogonal.

2. Montrer que {\operatorname{Im}(p\circ r)=\operatorname{Im}p\cap\operatorname{Im}r}.

3. En déduire que {\ker(p\circ r)=\ker p+\ker r}.

Exercice 5

Soit {f} une application linéaire de {\mathbb R^p} dans {\mathbb R^n}, avec {p\geqslant1} et {n\geqslant1}.

1. Soit {y\in\mathbb R^n}. Montrer qu’il existe {x\in(\ker f)^\perp} et {y'\in(\operatorname{Im}f)^\perp} tels que {y=f(x)+y'}.

2. Montrer qu’un tel couple {(x,y')} est unique.

On peut donc définir l’application {g:\mathbb R^n\to\mathbb R^p} qui au vecteur {y} associe le vecteur {x}.

3. Montrer que {g} est linéaire. On l’appelle l’application pseudo-inverse de {f}.

4. Déterminer le noyau et l’image de {g}.

5. (a) Montrer que {g\circ f} est le projecteur orthogonal de {\mathbb R^p} sur {(\ker f)^\perp}.

5. (b) Montrer que {f\circ g} est le projecteur orthogonal de {\mathbb R^n} sur {\operatorname{Im}f}.

Exercice 6

Soit {f} une application linéaire de {\mathbb R^p} dans {\mathbb R^n}, de matrice {A} dans les bases canoniques. Soit {b\in\mathbb R^n}.

On considère l’équation {(E):f(x)=b}, où {x\in\mathbb R^p} est inconnu. Elle équivaut au système {(S):AX=B}, où {B\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)} est donné et {X\in\mathcal M_{p,1}(\mathbb R)} est cherché.

1. Montrer que l’ensemble des solutions de {(E)} est soit vide, soit un sous-espace affine de {\mathbb R^p} dont on précisera la direction.

2. Montrer qu’il existe au moins un {x_0\in\mathbb R^p} tel que {\|b-f(x_0)\|=\min_{x\in\mathbb R^p}\|b-f(x)\|}Indication : utiliser la projection vectorielle orthogonale de {\mathbb R^n} sur {\operatorname{Im}f}.

On dira alors que {x_0} est une pseudo-solution de {(E)}.

3. Montrer que {x_0} est pseudo-solution de {(E)} si et seulement si, pour tout {x\in\mathbb R^p}, {(f(x)\mid b-f(x_0))=0}.

4. En déduire que les pseudo-solutions {x_0} de {(E)} s’obtiennent en résolvant {A^{\mathsf T}AX_0=A^{\mathsf T}B}.

5. Application : déterminer la ou les pseudo-solutions de {\begin{cases}x-y=1\\[4pt]x+2y=5\\[4pt]x+y=3\end{cases}}