Dans ce problème, on considère des polynômes à coefficients complexes.
Un polynôme est dit normalisé si le coefficient du terme de plus haut degré vaut {1}.
1. Un polynôme {Q}, normalisé de degré {2}, s’écrit : {Q(X)=X^2+pX+q}.
On note {a} et {b} ses zéros, distincts ou non.
1. (a) Calculer {a^2+b^2} et {(ab)^2} en fonction de {p} et {q}.
1. (b) Déterminer {p} et {q} pour que les zéros de {Q} soient {a^2} et {b^2}.
2. Soit {A} un polynôme normalisé de degré {2}, de zéros {a} et {b} : {A(X)=(X-a)(X-b)}.
Donner la liste des polynômes {A} tels que {A(X)} divise {A(X^2)}.
Donner la liste des polynômes {A} tels que {A(X)} divise {A(X^2)}.
3. Soit {B} un polynôme normalisé de degré {2}, de zéros {a} et {b} : {B(X)=(X-a)(X-b)}.
3. (a) Donner la liste des polynômes {B} tels que {B(X)} divise {B(X^3)}.
3. (b) Montrer (sans l’aide de cette liste) que si {B(X)} est l’un de ces polynômes, alors {B(-X)} en est un aussi.
4. Un polynôme {P(X)=X^3+pX^2+qX+r}, normalisé de degré {3}, a pour zéros {a,b,c}.
4. (a) Calculer {a^2+b^2+c^2} et {(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2} en fonction des coefficients {p,q,r}.
4. (b) Déterminer {p,q,r} pour que les zéros de {P} soient {a^2,b^2} et {c^2}.
4. (c) Donner la liste de ces polynômes {P} et vérifier que pour chacun d’eux : {P(X^2)=-P(X)P(-X)}.
5. Parmi les polynômes {P} précédents, on notera {F_1} et {F_2} les deux polynômes qui ne sont pas à coefficients tous réels.
5. (a) Calculer le produit {F_1(X)F_2(X)}.
5. (b) Donner, sous forme trigonométrique, les zéros de chacun des polynômes {F_1} et {F_2}.
5. (c) Former les polynômes normalisés de degré {3} ayant pour zéros les parties réelles des zéros de {F_1} et {F_2}.
5. (d) Former les polynômes normalisés {\Phi_1} et {\Phi_2}, de degré {3}, ayant pour zéros les parties imaginaires des zéros des polynômes {F_1} et {F_2}.
5. (e) Former le polynôme {H} tel que : {H(X)=64X\Phi_1(X)\Phi_2(X)}.
5. (f) Montrer que {\sin7\theta=-H(\sin\theta)}, {\cos7\theta=H(\cos\theta)}, {\cosh7\theta=H(\cosh\theta)}.
6. On définit une relation {\mathcal S} sur {\mathbb R} en posant : {\forall x,y\in\mathbb R,\ x\mathcal S y\iff H(x)=H(y)}.
6. (a) Vérifier que {\mathcal S} est une relation d’équivalence.
6. (b) Décrire la classe d’équivalence de {x}, quand {|x|>1} puis quand {|x|\leqslant1}.
6. (c) On note {\Gamma} l’ensemble des points {(x,y)} du plan tels que {H(x)=H(y)}.
Établir que {\Gamma} est la réunion d’une droite et de trois ellipses.
Construire {\Gamma} avec Maple.
Établir que {\Gamma} est la réunion d’une droite et de trois ellipses.
Construire {\Gamma} avec Maple.