Pour tout {n\geqslant1}, on note {A_n} la matrice carrée d’ordre {n} de terme général {a_{ij}=\begin{cases}1&\text{si }|j-i|=1\\[4pt]0&\text{sinon}\end{cases}}Ainsi {A_1=(0)}, et {A_2=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\quad A_3=\begin{pmatrix}0&1&0\\[4pt]1&0&1\\[4pt]0&1&0\end{pmatrix}}Pour tout {x} de {\mathbb R}, on pose {P_n(x)=\det(A_n+xI_n)} pour {n\geqslant1}.
Par convention, on pose {P_0(x)=1}. Ainsi {P_1(x)=x}, et {P_2(x)=\begin{vmatrix}x&1\\[4pt]1&x\end{vmatrix}}On a également {P_3(x)=\begin{vmatrix}x&1&0\\[4pt]1&x&1\\[4pt]0&1&x\end{vmatrix}}et {P_4(x)=\begin{vmatrix}x&1&0&0\\[4pt]1&x&1&0\\[4pt]0&1&x&1\\[4pt]0&0&1&x\end{vmatrix}}
1. Préciser les expressions de {P_3(x)} et de {P_4(x)}.
3. Montrer que pour tout {n} de {\mathbb N}, l’application {P_n} est une fonction polynomiale unitaire de degré {n}, et qu’elle a la même parité que {n}.
(b) Montrer que si {x} n’est pas dans {\{-2,2\}}, alors {u_n=\frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha-\beta}}en notant {\alpha} et {\beta} les racines distinctes de l’équation {\lambda^2-x\lambda+1=0}.
6. (a) Montrer que pour tout {n\geqslant1}, le polynôme {P_n} possède {n} zéros distincts, tous réels, et donnés par {a_{n,k}=2\cos\theta_{n,k},\quad\theta_{n,k}=\frac{k\pi}{n+1}}pour tout {k\in\{1,\ldots,n\}}.
7. On se donne un réel {\lambda} et on considère le système {(S_{n,\lambda})} défini par {\begin{cases}\lambda x_1+x_2=0\\[4pt]x_1+\lambda x_2+x_3=0\\[4pt]\vdots\\[4pt]x_{n-2}+\lambda x_{n-1}+x_n=0\\[4pt]x_{n-1}+\lambda x_n=0\end{cases}}Il s’écrit {(A_n+\lambda I_n)X=0} ; pour {n=1}, il se réduit à {\lambda x_1=0}.
(a) Résoudre {(S_{n,\lambda})} quand {\lambda\notin\{a_{n,1},\ldots,a_{n,n}\}}.
(b) On suppose que {\lambda=a_{n,k}=2\cos\theta_{n,k}}. Montrer alors que le système est de rang {n-1}, et que l’ensemble des solutions est la droite engendrée par {v_n=\begin{pmatrix}\sin\theta_k\\[4pt]-\sin2\theta_k\\[4pt]\vdots\\[4pt](-1)^{n-1}\sin n\theta_k\end{pmatrix}}où l’on note {\theta_k=\theta_{n,k}}.