Dans tout le problème, {E} est un espace euclidien de dimension {n\geqslant1}. On note {(x\mid y)} le produit scalaire de deux vecteurs de {E}.
1. On se donne {u,v\in E} et on note {\Delta(u,v)=\begin{vmatrix}(u\mid u)&(u\mid v)\\[4pt](v\mid u)&(v\mid v)\end{vmatrix}}Montrer que {\Delta(u,v)\geqslant0}, avec égalité si et seulement si {u,v} sont liés.
2. On se donne {u,v,w\in E} et on note {\Delta(u,v,w)=\begin{vmatrix}(u\mid u)&(u\mid v)&(u\mid w)\\[4pt](v\mid u)&(v\mid v)&(v\mid w)\\[4pt](w\mid u)&(w\mid v)&(w\mid w)\end{vmatrix}}
(a) Montrer que {w} s’écrit de manière unique comme la somme d’un vecteur {a} combinaison linéaire de {u,v} et d’un vecteur {b} orthogonal à {u} et à {v}.
3. On va généraliser les notations et les résultats précédents. On note {m} un entier strictement positif quelconque.
Pour {u_1,\ldots,u_m\in E}, on note {G(u_1,\ldots,u_m)} la matrice carrée d’ordre {m} de terme général {(u_i\mid u_j)} et {\Delta(u_1,\ldots,u_m)=\det G(u_1,\ldots,u_m)}.
(a) On note {F=\operatorname{Vect}(u_1,\ldots,u_{m-1})}. Soit {u_m=a+b}, avec {a\in F}, la décomposition sur {E=F\oplus F^\perp}. Montrer que {\Delta(u_1,\ldots,u_{m-1},a)=0}.
4. Soit {F} un sous-espace de {E}, de base {(u_1,\ldots,u_m)}. Soit {d(x,F)} la distance d’un vecteur {x} à {F}. Montrer que {d(x,F)^2=\frac{\Delta(u_1,\ldots,u_m,x)}{\Delta(u_1,\ldots,u_m)}}
5. Soit {(e_1,\ldots,e_n)} une base de {E}, et {(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n)} une famille de {n} vecteurs de {E}. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
(a) Il existe une isométrie vectorielle {f} de {E} telle que {f(e_k)=\varepsilon_k} pour tout {k}.
(b) Les matrices {G(e_1,\ldots,e_n)} et {G(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n)} sont égales.