Équation P(X^2)=P(X+a)P(X+b)

Pour tout {(a,b)} de {\mathbb C^2}, soit l’équation {(E_{a,b})} :
{P(X^2)=P(X+a)P(X+b),}d’inconnue {P} dans {\mathbb C[X]}.

Il est clair que les seuls polynômes constants vérifiant {(E_{a,b})} sont {P=0} et {P=1}.
On note {S_{a,b}} l’ensemble (éventuellement vide) des polynômes non constants vérifiant {(E_{a,b})}.

I. Étude de quelques cas particuliers

Dans cette partie, on va étudier l’équation {(E_{a,b})} dans quelques cas particuliers.
On va notamment constater qu’il est fort possible que {S_{a,b}} soit vide.

Le cas particulier {a=b}

Dans cette question, on suppose {a=b}. On étudie donc l’équation {(E_{a,a})} : {P(X^2)=P^2(X+a)}.

Soit {P} un polynôme non constant de {\mathbb C[X]}. Soit {m\geqslant1} le nombre de ses racines distinctes.

1. (a) Préciser le nombre de racines distinctes du polynôme {Q(X)=P^2(X+a)}.
1. (b) Même question avec {R(X)=P(X^2)} (discuter selon que {0} est racine ou non de {P}).
2. (a) On suppose maintenant que {P} est dans {S_{a,a}}. Montrer que {P=X^m}.
2. (b) En déduire finalement que si {a\neq0} alors {S_{a,a}=\varnothing}. Précisez l’ensemble {S_{0,0}}.

Le cas particulier {\{a,b\}=\{0,1\}}

On suppose ici {\{a,b\}=\{0,1\}}. On étudie donc l’équation {(E_{0,1})} : {P(X^2)=P(X)P(X+1)}.

3. Soit {P} un élément de {S_{0,1}}, et soit {\alpha} une racine de {P} dans {\mathbb C}.

3. (a) En considérant {\alpha^2}, montrer que nécessairement {\alpha=0} ou {|\alpha|=1}.
3. (b) Montrer de même que {\alpha=1} ou {|\alpha-1|=1}.
3. (c) Montrer finalement que les seules possibilités sont {\alpha=0} et {\alpha=1}.
4. Déterminer l’ensemble {S_{0,1}}.

II. Quelques résultats généraux, dans le cas {S_{a,b}\neq\varnothing}

Dans cette partie, on suppose que {S_{a,b}} est non vide.

1. (a) Montrer que tout élément de {S_{a,b}} est unitaire.
1. (b) Montrer que {S_{a,b}} est stable par produit.
2. (a) On suppose que {P} et {Q} sont dans {S_{a,b}}, et qu’ils ont le même degré.
On pose {D(X)=P(X)-Q(X)} et :
{R(X)=P(X+a)D(X+b)+D(X+a)Q(X+b).}En raisonnant sur les degrés, montrer que {D} est nul. Qu’en résulte-t-il ?
2. (b) En déduire que {S_{a,b}} possède un unique polynôme de degré minimum (et qu’il est unitaire).
On l’appelle le polynôme minimal de l’équation {(E_{a,b})}.

III. De l’importance du polynôme minimal

Dans cette partie, on suppose que {S_{a,b}} est non vide.
On note {M} le polynôme minimal de l’équation {(E_{a,b})}. On pose {\deg(M)=m\geqslant1}.
L’objectif de cette partie est de montrer que {S_{a,b}=\{M^n,\ n\in\mathbb N^*\}}.

1. Dans cette question, {n} est un élément de {\mathbb N^*} fixé.
On note {\{\omega_1,\omega_2,\ldots,\omega_n\}} l’ensemble des racines {n}-ièmes de l’unité.

1. (a) Soient {A,B} dans {\mathbb C[X]}. Montrer que {A^n-B^n=\prod\limits_{k=1}^n(A-\omega_kB)}.
1. (b) En déduire que si {P} est dans {\mathbb C[X]} et si {P^n\in S_{a,b}} alors {P\in S_{a,b}}.

2. Dans cette question, {P} désigne un élément de {S_{a,b}}, de degré {n\geqslant1}.
On note {\delta=m\wedge n}. Il existe donc {r,s} dans {\mathbb N^*} tels que {m=\delta r} et {n=\delta s}, avec {r\wedge s=1}.

2. (a) Vérifier que {M^s} et {P^r} ont même degré, et en déduire qu’ils sont égaux : {M^s=P^r}.

2. (b) L’égalité {M^s=P^r} assure que {M} et {P} ont les mêmes racines distinctes {\lambda_1,\ldots,\lambda_q} dans {\mathbb C}.
On note {M=\prod\limits_{k=1}^q(X-\lambda_k)^{\alpha_k}} et {P=\prod\limits_{k=1}^q(X-\lambda_k)^{\beta_k}} les factorisations de {M} et {P} dans {\mathbb C[X]}.

2. (b) i. Pour tout {k} de {\{1,\ldots,q\}}, montrer qu’il existe un entier {\gamma_k} tel que {\alpha_k=\gamma_kr}.
2. (b) ii. En utilisant {Q=\prod\limits_{k=1}^q(X-\lambda_k)^{\gamma_k}} et la question (III.1), montrer que {r=1}, donc {P=M^s}.
3. Énoncer de façon précise la conclusion de cette partie du problème.

IV. Existence d’un polynôme minimal de degré 1, 2, ou 3

On étudie ici quand {S_{a,b}} est non vide et possède un polynôme minimal de degré {1} ou {2}.
Pour simplifier les calculs, on pose {c=\dfrac{a+b}2} et {d=\dfrac{b-a}2}.

1. Existence d’un polynôme minimal de degré 1

1. (a) Montrer que si {P} est dans {S_{a,b}} et de degré {1}, alors nécessairement {P=X-c}.
1. (b) Réciproquement, montrer que {X-c} est dans {S_{a,b}} si et seulement si {c=d^2}.
1. (c) Montrer que si cette condition est réalisée, alors {S_{a,b}=\{(X-c)^n,\ n\in\mathbb N^*\}}.

2. Existence d’un polynôme minimal de degré 2

Dans cette question, on suppose {c\neq d^2} (donc {S_{a,b}} ne contient pas de polynôme de degré {1}).
On va étudier à quelle condition {S_{a,b}} contient un polynôme de degré {2} (nécessairement unitaire).

Posons {P=(X-c)^2+\alpha(X-c)+\beta}, écrit suivant les puissances décroissantes de {X-c}.

2. (a) Montrer que si {P} est dans {S_{a,b}}, alors nécessairement {\alpha=0}.
2. (b) En déduire que {P} est dans {S_{a,b}} si et seulement si {\beta=\dfrac14-c} et {d^2=\dfrac14}.
2. (c) Réciproquement, on suppose que {d^2=\dfrac14} (c’est-à-dire {b=a\pm1}), et que {c\neq\dfrac14}.
Montrer que {S_{a,b}=\{M^n,\ n\in\mathbb N^*\}}, où {M=(X-c)^2+\dfrac14-c}.

3. Existence d’un polynôme minimal de degré 3

Dans cette question, on suppose {d^2\neq\dfrac14} et {c\neq d^2}.
D’après les questions (IV.1) et (IV.2), {S_{a,b}} ne contient aucun polynôme de degré {1} ou {2}.
On va étudier à quelle condition {S_{a,b}} contient un polynôme de degré {3} (nécessairement unitaire).

Posons {P=(X-c)^3+\alpha(X-c)^2+\beta(X-c)+\gamma} (puissances décroissantes de {X-c}).
Dans un premier temps, on suppose que le polynôme {P} est solution de {(E_{a,b})}.
On procédera par implications, avec des identifications (et une substitution judicieuse) dans {(E_{a,b})}.

3. (a) Commencer par montrer {\alpha=0}, puis {\gamma=0}.
3. (b) Réécrire {(E_{a,b})} avec {\alpha=\gamma=0} et montrer cette fois {\beta=-\dfrac94}.
3. (c) Montrer finalement les égalités {c=\dfrac{25}{16}} et {d=\pm\dfrac14}.
En déduire que {\{a,b\}=\left\{\dfrac{21}{16},\dfrac{29}{16}\right\}} et préciser la factorisation de {P}.
3. (d) Conclure de façon précise cette question (3).