Un produit scalaire de polynômes

Partie I

Pour tout {P\in\mathbb R[X]}, on note {\varphi(P)=(1-X^2)P''-3XP'}.

1. (a) Montrer que {\varphi} est un endomorphisme de {\mathbb R[X]}.

1. (b) Pour tout {k\in\mathbb N}, calculer {\varphi(X^k)}.

1. (c) Pour tout {P\in\mathbb R[X]}, calculer le degré de {\varphi(P)} en fonction de celui de {P}.

1. (d) Quel est le noyau de {\varphi} ? L’endomorphisme {\varphi} est-il surjectif ?

2. Pour tout {n\in\mathbb N}, on note {\varphi_n} la restriction de {\varphi} à {\mathbb R_n[X]}.

(a) Montrer que {\mathbb R_n[X]} est stable par {\varphi}.

(b) Écrire la matrice {A_n} de {\varphi_n} dans la base {(1,X,\ldots,X^n)}.

(c) Préciser le rang de {\varphi_n-\lambda\operatorname{Id}} suivant les valeurs du réel {\lambda}.

3. Dans cette question, {n} est un entier naturel fixé quelconque. On pose {\lambda_n=-n(n+2)} et {E_n=\ker(\varphi-\lambda_n\operatorname{Id})=\{P:\varphi(P)=\lambda_nP\}}

(a) Montrer que tout élément non nul de {E_n} est nécessairement de degré {n}.

(b) Inversement, montrer que {E_n} est une droite vectorielle (utiliser 2(c)).

Dans la suite, on note {U_n} l’unique polynôme unitaire de {E_n}.

4. Ainsi {U_n} est l’unique polynôme unitaire tel que {\varphi(U_n)=\lambda_nU_n} ; il est de degré {n}.

(a) Calculer {U_0,U_1,U_2,U_3}.

(b) Montrer que {U_n} a la parité de {n} (indication : considérer {V_n(X)=(-1)^nU_n(-X)}).

(c) Si {n\geqslant2}, montrer que le coefficient de {X^{n-2}} dans {U_n} est {(1-n)/4}.

Partie II

Pour tous {P,Q\in\mathbb R[X]}, on note {(P\mid Q)=\int_{-1}^1P(t)Q(t)\sqrt{1-t^2}\,dt}

1. (a) Montrer qu’on définit ainsi un produit scalaire sur {\mathbb R[X]}.

Il est clair que pour tous {A,B,C\in\mathbb R[X]}, on a {(AB\mid C)=(A\mid BC)}.

1. (b) Montrer que pour tous {P,Q\in\mathbb R[X]}, {(\varphi(P)\mid Q)=(P\mid\varphi(Q))}.

Indication : considérer la dérivée de {t\mapsto(1-t^2)^{3/2}P'(t)}.

2. (a) Montrer que {(U_n)_{n\geqslant0}} est une famille orthogonale pour ce produit scalaire.

2. (b) En déduire que pour tout {n\in\mathbb N^*} et tout {Q\in\mathbb R_{n-1}[X]}, on a {(U_n\mid Q)=0}.

3. (a) Montrer que {U_n-XU_{n-1}} est de degré au plus {n-1} et qu’il est orthogonal à tout polynôme de degré strictement inférieur à {n-2}, pour {n\geqslant3}.

3. (b) En déduire que {U_n-XU_{n-1}} est combinaison linéaire de {U_{n-1}} et de {U_{n-2}}.

3. (c) En utilisant I.4, montrer que {4U_n-4XU_{n-1}+U_{n-2}=0} pour {n\geqslant2}.

3. (d) Calculer {U_n(1)}.

4. (a) Montrer que pour tout réel {\theta}, {\sin((n+1)\theta)=2^n\sin\theta\,U_n(\cos\theta)}Utiliser la récurrence de II.3(c).

4. (b) En déduire les différentes racines de {U_n}.