{\mathcal M_3(\mathbb R)} désigne l’algèbre des matrices carrées d’ordre {3} à coefficients réels.
On note {E} le sous-ensemble de {\mathcal M_3(\mathbb R)} formé des matrices {M(a,b,c)=\begin{pmatrix}a&b&c\\[4pt]b&a+c&b\\[4pt]c&b&a\end{pmatrix}}où {a,b,c} sont trois réels quelconques. On pose {I=M(1,0,0)}, {J=M(0,1,0)} et {K=M(0,0,1)}.
Partie I
1. Montrer que {E} est un sous-espace vectoriel de {\mathcal M_3(\mathbb R)}. En donner la dimension et une base.
2. Calculer, en fonction de {I,J,K}, les produits {J^2}, {K^2}, {JK} et {KJ}.
3. Montrer que {E} est muni d’une structure d’anneau commutatif.
Partie II
1. Exprimer {\det(M(a,b,c))} comme un produit de trois facteurs linéaires par rapport à {a,b,c}.
2. À quelles conditions {M(a,b,c)} est-elle inversible dans {\mathcal M_3(\mathbb R)} ? Montrer alors, sans la calculer, que sa matrice inverse est dans {E}.
3. Montrer que le sous-ensemble de {E} formé des matrices {M(a,b,c)} de rang inférieur ou égal à {2} est la réunion de trois plans vectoriels {P_1,P_2,P_3} dont on donnera une base (on notera {P_1} celui de ces plans qui est caractérisé par l’égalité {a=c}).
4. Montrer que le sous-ensemble de {E} formé des matrices {M(a,b,c)} de rang inférieur ou égal à {1} est la réunion de trois droites vectorielles {D_1,D_2,D_3}, que l’on précisera. Montrer que ces droites sont les intersections deux à deux des plans {P_1,P_2,P_3}.
5. On considère toutes les matrices {M} de {P_1} qui sont effectivement de rang {2}. On leur associe un endomorphisme {f_M} de {\mathbb R^3} (rapporté à sa base canonique). Montrer que tous ces endomorphismes ont la même image et le même noyau.
Partie III
Soient {a} et {c} deux réels. On pose {N=aI+cK,\quad A=\frac12(I+K),\quad B=\frac12(I-K)}
1. (a). Calculer {AB}, {BA}, et pour tout entier {n\geqslant1}, {A^n} et {B^n}.
1. (b). Montrer qu’il existe deux réels {x} et {y} tels que {N=xA+yB}.
1. (c). En déduire, pour tout {n} de {\mathbb N}, l’expression de {N^n}.
2. Soit {f} l’endomorphisme de {\mathbb R^3} dont la matrice est {N} dans la base canonique.
(a). Montrer que {\varepsilon_1=(1,0,1)}, {\varepsilon_2=(0,1,0)}, {\varepsilon_3=(1,0,-1)} forment une base de {\mathbb R^3}.
(b). Déterminer la matrice {N'} de {f} dans cette base.
(c). En déduire, pour tout {n} de {\mathbb N}, l’expression de {N^n}.