Soit {\beta} un nombre réel. Soit {f} l’endomorphisme de {\mathbb R^3} de matrice{M=\begin{pmatrix}0&0&-1\\[4pt]2&0&\beta\\[4pt]-3-\beta&-1&0\end{pmatrix}}dans la base canonique.
1. Pour tout réel {\lambda}, on note {E_\lambda=\{u\in\mathbb R^3\mid f(u)=\lambda u\}}. Montrer que :
- si {\lambda\notin\{-1,2\}}, {E_\lambda} est réduit à {\{0\}} ;
- {E_2} est la droite vectorielle engendrée par {\varepsilon_1=(1,1-\beta,-2)} ;
- {E_{-1}} est la droite vectorielle engendrée par {\varepsilon_2=(1,-2-\beta,1)}.
2. Montrer que{P=\begin{pmatrix}1&1&0\\[4pt]1-\beta&-2-\beta&-2\\[4pt]-2&1&-1\end{pmatrix}}est inversible et calculer {P^{-1}}.
3. On pose {\varepsilon_3=(0,-2,-1)}. Pour les questions suivantes, on note également {u=\varepsilon_2}, {v=\varepsilon_3} et {w=\varepsilon_1}.
3. (a). Montrer que {\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3} forment une base de {\mathbb R^3}.
3. (b). Montrer que {(f+\mathrm{Id})^2} est de rang {1}.
3. (c). Vérifier que {u} et {v} forment une base de {\ker((f+\mathrm{Id})^2)}.
4. On pose désormais{P=\begin{pmatrix}1&0&1\\[4pt]-2-\beta&-2&1-\beta\\[4pt]1&-1&-2\end{pmatrix}}
4. (a). Montrer que {P} est inversible et calculer {P^{-1}}.
4. (b). Déterminer la matrice {N} de {f} dans la base {(u,v,w)}.
4. (c). Calculer {N^n} pour tout entier {n\in\mathbb N}.
4. (d). En déduire {M^n} pour tout entier {n\in\mathbb N}.
5. On veut retrouver {M^n} par une autre méthode. On pose{A=\begin{pmatrix}1&0&-1\\[4pt]2&1&\beta\\[4pt]-3-\beta&-1&1\end{pmatrix}}
5. (a). Calculer {A^n} pour tout entier naturel {n}.
5. (b). Montrer que{M^n=\varphi(n)A^2+n(-1)^{n-1}A+(-1)^nI_3}, où {\varphi:\mathbb N\to\mathbb R}.
5. (c). Calculer {\varphi(n)} pour tout {n\in\mathbb N}, et retrouver ainsi une expression de {M^n}.