Dans tout le problème {E} est un espace vectoriel sur {\mathbb K} (avec {\mathbb K=\mathbb R} ou {\mathbb K=\mathbb C}).
Soit {\varphi} un endomorphisme quelconque de {E}.
On note {\varphi^0=\mathrm{Id}}, et {\varphi^{k+1}=\varphi\circ\varphi^k} pour tout entier naturel {k}.
1. Algèbre des polynômes d’un endomorphisme.
Pour tout {A=\sum a_kX^k} de {\mathbb K[X]} on note {A(\varphi)=\sum a_k\varphi^k}.
Par exemple, si {A=1} alors {A(\varphi)=\mathrm{Id}}, et si {A=1-2X+X^3} alors {A(\varphi)=\mathrm{Id}-2\varphi+\varphi^3}.
On note {\mathbb K[\varphi]=\{A(\varphi),\ A\in\mathbb K[X]\}} l’ensemble des polynômes de l’endomorphisme{\varphi}.
1. Montrer que pour tous {A,B} de {\mathbb K[X]}, et pour tous {\alpha,\beta} de {\mathbb K}, on a les égalités : {\begin{array}{l}(\alpha A+\beta B)(\varphi)=\alpha A(\varphi)+\beta B(\varphi),\\[8pt]A(\varphi)\circ B(\varphi)=(AB)(\varphi).\end{array}}En déduire que {\mathbb K[\varphi]} est une sous-algèbre commutative de {\mathcal L(E)}.
2. (b) Soient {A,B} deux polynômes de {\mathbb K[X]}, premiers entre eux. Soit {C=AB}.
Montrer que {\ker C(\varphi)=\ker A(\varphi)\oplus\ker B(\varphi)}.
Indication : tant pour la somme directe que pour l’inclusion {\ker C(\varphi)\subset\cdots}, on utilisera une identité de Bezout sur {A} et {B}, et le résultat de la question précédente.
2. (c) Généraliser le résultat précédent pour obtenir le Lemme des noyaux :
Soient {A_1,A_2,\ldots,A_m} ({m\geqslant2}) une famille de {m} polynômes premiers entre eux deux à deux.
Soit {C=\prod\limits_{k=1}^m A_k} leur produit. Alors {\ker(C(\varphi))=\bigoplus\limits_{k=1}^m\ker A_k(\varphi)}.
Dans cette question seulement {E} est l’espace vectoriel des applications de classe {\mathcal C^\infty} définies sur {\mathbb R} à valeurs dans {\mathbb K}, et {\varphi:f\mapsto f'} désigne l’opérateur de dérivation sur {E}.
Pour tout {\lambda} de {\mathbb K}, et tout {f} de {E}, on note {f_\lambda} l’application définie sur {\mathbb R} par : {f_\lambda(x)=f(x)e^{-\lambda x}}.
3. (a) Préciser le noyau de {\varphi^k}, pour tout {k} de {\mathbb N}.
3. (d) En déduire, pour tout {k} de {\mathbb N}, que le noyau de {(\varphi-\lambda\mathrm{Id}_E)^k} est l’ensemble des applications {f:x\mapsto P(x)e^{\lambda x}}, où {P} est un polynôme de degré strictement inférieur à {k}.
3. (e) On considère l’équation différentielle : {y^{(6)}-3y^{(5)}+6y^{(3)}-3y''-3y'+2y=0,}dans laquelle l’application {x\mapsto y(x)} est un élément inconnu de {E}. Soit {S} l’ensemble des solutions.
Interpréter {S} comme le noyau d’un polynôme {P(\varphi)} de l’endomorphisme {\varphi}.
Factoriser {P} et en déduire {S} en utilisant le lemme des noyaux.
{\varphi} désigne à nouveau un endomorphisme quelconque d’un {\mathbb K}-espace vectoriel {E}.
On dit qu’un élément {A} de {\mathbb K[X]} est un polynôme annulateur de {\varphi} si {A(\varphi)=0}.
On note {\operatorname{Ann}(\varphi)=\{A\in\mathbb K[X],\ A(\varphi)=0\}} l’ensemble des polynômes annulateurs de {\varphi}.
4. (a) Montrer que {\operatorname{Ann}(\varphi)} est un sous-espace vectoriel de {\mathbb K[X]}.
4. (d) Montrer que le résultat précédent n’est plus vrai en dimension infinie (on pensera par exemple à la dérivation {\varphi:f\mapsto f'} sur l’espace vectoriel {E=\mathcal C^\infty(\mathbb R,\mathbb K)}).
{\varphi} désigne toujours un endomorphisme quelconque d’un {\mathbb K}-espace vectoriel {E}.
On suppose que l’ensemble {\operatorname{Ann}(\varphi)} n’est pas réduit au polynôme nul.
5. (a) Soit {d} le degré minimum des polynômes non nuls de {\operatorname{Ann}(\varphi)}. Montrer que {d\geqslant1} et qu’on peut choisir dans {\operatorname{Ann}(\varphi)} un polynôme, noté {A}, normalisé et de degré {d}.
5. (c) Prouver finalement que {\operatorname{Ann}(\varphi)} est exactement l’ensemble des multiples du polynôme {A}, et que ce dernier est le seul polynôme unitaire à posséder cette propriété.
On dit que {A} est le polynôme minimal de {\varphi}, et on note {A=\mu(\varphi)}.