Pour tout {\lambda} de {\mathbb C}, on définit la matrice {A(\lambda)=\begin{pmatrix}1&\lambda&\lambda^2&\lambda^3\\[4pt]\lambda^3&1&\lambda&\lambda^2\\[4pt]\lambda^2&\lambda^3&1&\lambda\\[4pt]\lambda&\lambda^2&\lambda^3&1\end{pmatrix}}
1. Montrer que {\det(A(\lambda))=(1-\lambda^4)^3}.
5. Montrer que les vecteurs {\begin{array}{l}\varepsilon_1=(1,1,1,1)\\[4pt]\varepsilon_2=(1,\mathrm i,-1,-\mathrm i)\\[4pt]\varepsilon_3=(1,-1,1,-1)\\[4pt]\varepsilon_4=(1,-\mathrm i,-1,\mathrm i)\end{array}}forment une base de {\mathbb C^4}.
6. On note {P} la matrice de passage de la base canonique de {\mathbb C^4} à la base {\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4}. Montrer que la matrice {D(\lambda)=P^{-1}A(\lambda)P} est diagonale.
On se donne {n} dans {\mathbb N^*}, puis {a_0,\ldots,a_{n-1}} dans {\mathbb C} et on pose {\omega=\exp\left(\dfrac{2\mathrm i\pi}{n}\right)}.
Soient {A} et {\Omega} les matrices de {\mathcal M_n(\mathbb C)} de termes généraux {[A]_{p,q}=a_{(q-p)\bmod n},\quad[\Omega]_{p,q}=\omega^{(p-1)(q-1)}}Par exemple, et uniquement dans le cas {n=5}, on obtient {A=\begin{pmatrix}a_0&a_1&a_2&a_3&a_4\\[4pt]a_4&a_0&a_1&a_2&a_3\\[4pt]a_3&a_4&a_0&a_1&a_2\\[4pt]a_2&a_3&a_4&a_0&a_1\\[4pt]a_1&a_2&a_3&a_4&a_0\end{pmatrix}}et {\Omega=\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\[4pt]1&\omega&\omega^2&\omega^3&\omega^4\\[4pt]1&\omega^2&\omega^4&\omega^6&\omega^8\\[4pt]1&\omega^3&\omega^6&\omega^9&\omega^{12}\\[4pt]1&\omega^4&\omega^8&\omega^{12}&\omega^{16}\end{pmatrix}}Pour tout nombre complexe {z}, on pose {\begin{array}{rl}f(z)&=a_0+a_1z+\cdots+a_{n-1}z^{n-1}\\[4pt]&=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_kz^k\end{array}}
1. Soit {\overline\Omega} la matrice de {\mathcal M_n(\mathbb C)} de terme général {[\overline\Omega]_{p,q}=\omega^{-(p-1)(q-1)}}. Calculer le produit {\Omega\overline\Omega}. En déduire que {\Omega} est inversible et exprimer {\Omega^{-1}} en fonction de {\overline\Omega}.
5. Dans cette question, on suppose que {a_k=\binom{n-1}{k}} pour tout {k} de {\{0,1,\ldots,n-1\}}. Déduire de la question précédente que {\det A=0} si {n} est pair, et {\det A=2^{n-1}} si {n} est impair.
Soit {n\geqslant2} un entier donné. Soit {J} la matrice de {\mathcal M_n(\mathbb C)} définie par {J=\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots&0\\[4pt]0&0&1&\ddots&\vdots\\[4pt]\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\[4pt]0&\cdots&0&0&1\\[4pt]1&0&\cdots&0&0\end{pmatrix}}Le terme général de {J} est donc {[J]_{p,q}=\begin{cases}1&\text{si }q\equiv p+1\pmod n\\[4pt]0&\text{sinon}\end{cases}}On note {\varphi} l’endomorphisme de {\mathbb C^n} de matrice {J} dans la base canonique {(e)=(e_0,e_1,\ldots,e_{n-1})}.
On reprend les notations {\omega}, {A} et {f(z)} de la partie II. Pour tout {q} de {\{0,1,\ldots,n-1\}}, on note {\varepsilon_q=(1,\omega^q,\omega^{2q},\ldots,\omega^{(n-1)q})}
1. Pour {0\leqslant k\lt n} et {1\leqslant q\leqslant n}, préciser le vecteur {\varphi^q(e_k)}. En déduire que {J^n=I_n} et que {\begin{array}{rl}A&=a_0I_n+a_1J+\cdots+a_{n-1}J^{n-1}\\[4pt]&=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_kJ^k\end{array}}
2. Pour tout {\lambda} de {\mathbb C}, résoudre le système {(S):\varphi(u)=\lambda u} d’inconnue {u=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb C^n}.
On vérifiera que la solution générale de ce système est : uniquement la solution nulle si {\lambda^n\ne1} ; la droite vectorielle engendrée par {\varepsilon_q} si {\lambda=\omega^q}, avec {0\leqslant q\lt n}.
3. On sait que la famille {(\varepsilon)=(\varepsilon_0,\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_{n-1})} est une base de {\mathbb C^n} : la matrice {\Omega} de la partie II est la matrice des vecteurs {\varepsilon_k} dans la base canonique et on a vu qu’elle est inversible. Préciser la matrice {D} de {\varphi} dans la base {(\varepsilon)}.