Triplets pythagoriciens

– On note {\mathcal M_3(\mathbb R)} l’ensemble des matrices carrées d’ordre {3} à coefficients réels.
On note {\mathcal M_3(\mathbb Z)} l’ensemble des matrices carrées d’ordre {3} à coefficients dans {\mathbb Z}.

– On définit les matrices suivantes :
{A=\left(\begin{array}{rrr}2&1&2\\[4pt]1&2&2\\[4pt]2&2&3\end{array}\right).}{B=\left(\begin{array}{rrr}2&-1&2\\[4pt]1&-2&2\\[4pt]2&-2&3\end{array}\right).}{C=\left(\begin{array}{rrr}-2&1&2\\[4pt]-1&2&2\\[4pt]-2&2&3\end{array}\right).}{I=\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&1\end{array}\right).}{J=\left(\begin{array}{rrr}-1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&1\end{array}\right).}{K=\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\[4pt]0&-1&0\\[4pt]0&0&1\end{array}\right).}{L=\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&-1\end{array}\right).}– On appelle triplet pythagoricien tout triplet {(x,y,z)} d’entiers naturels premiers entre eux dans leur ensemble tels que {x^2+y^2=z^2}. On note {\mathcal T} l’ensemble de ces triplets.

Première partie

1. Calculer les inverses des matrices {A}, {B}, et {C}.
2. Déterminer les {Q} de {\mathcal M_3(\mathbb R)} telles que {\forall(x,y,z)\in\mathbb R^3},{x^2+y^2-z^2=(x\ y\ z)Q\left(\begin{array}{r}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{array}\right).}On notera en particulier que {L} est la seule de ces matrices qui soit symétrique.
3. Prouver que {\mathcal G=\{M\in\mathcal M_3(\mathbb R),\ {}^tMLM=L\}} est un groupe multiplicatif.
4. Montrer que les matrices {M} de {\mathcal G} sont caractérisées par la condition suivante : pour tout {(x,y,z)} de {\mathbb R^3}, si {\left(\begin{array}{r}x^{\prime}\\[4pt]y^{\prime}\\[4pt]z^{\prime}\end{array}\right)=M\left(\begin{array}{r}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{array}\right),}alors {x^{\prime 2}+y^{\prime 2}-z^{\prime 2}=x^2+y^2-z^2}.
5. Montrer que {\mathcal H=\mathcal G\cap\mathcal M_3(\mathbb Z)} est un sous-groupe de {\mathcal G}.
6. Vérifier que les six matrices {A,B,C,J,K,L} sont éléments de {\mathcal H}.

Deuxième partie

Dans cette partie, on étudie des matrices particulières de {\mathcal H}.
On note :{R_k=\left(\begin{array}{rrr}1-2k^2&-2k&2k^2\\[4pt]2k&1&-2k\\[4pt]-2k^2&-2k&1+2k^2\end{array}\right),}{S_k=\left(\begin{array}{rrr}1-2k^2&2k&2k^2\\[4pt]2k&-1&-2k\\[4pt]-2k^2&2k&1+2k^2\end{array}\right),}et {\mathcal R=\{R_k,\ k\in\mathbb Z\}}, {\mathcal S=\{S_k,\ k\in\mathbb Z\}}.

1. Pour tout {k} de {\mathbb Z}, vérifier que les matrices {R_k} et {S_k} sont des éléments de {\mathcal H}.
2. Montrer que {\mathcal R} est un sous-groupe commutatif de {\mathcal H}. Préciser {R_k^m} pour {(k,m)} dans {\mathbb Z^2}.
3. Pour tout {k} de {\mathbb Z}, montrer que la matrice {R_k-I} est nilpotente.
4. Déterminer trois suites {(a_n),(b_n),(c_n)} indépendantes de {k}, telles que, pour tout entier naturel {n} et tout {k} de {\mathbb Z}, on ait l’égalité : {R_k^n=a_nR_k^2+b_nR_k+c_nI}.
5. Montrer que {\mathcal R\cup\mathcal S} est un sous-groupe de {\mathcal H}.
6. Pour tout {k} de {\mathbb Z}, soit {\varphi_k} l’endomorphisme de {\mathbb R^3} de matrice {S_k} dans la base canonique. Identifier l’application {\varphi_k} et préciser ses éléments caractéristiques.

Troisième partie

1. Soient {(x,y,z)} et {(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})} dans {\mathbb R^3}, et {M} dans {\mathcal H}, tels que {\left(\begin{array}{r}x^{\prime}\\[4pt]y^{\prime}\\[4pt]z^{\prime}\end{array}\right)=M\left(\begin{array}{r}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{array}\right).}Montrer que {(|x^{\prime}|,|y^{\prime}|,|z^{\prime}|)\in\mathcal T\Longleftrightarrow(|x|,|y|,|z|)\in\mathcal T}.

2. On se donne {(x,y,z)} dans {\mathcal T}, tel que {z>1}, et on définit {\left(\begin{array}{r}x^{\prime}\\[4pt]y^{\prime}\\[4pt]z^{\prime}\end{array}\right)=A^{-1}\left(\begin{array}{r}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{array}\right).}

2. (a) Vérifier les inégalités {x>0}, {y>0}, et {0\lt z^{\prime}\lt z}.

2. (b) Montrer que l’un des triplets {(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})}, {(-x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})} ou {(x^{\prime},-y^{\prime},z^{\prime})} est dans {\mathcal T}.
Indication : caractériser les inégalités {x^{\prime}\lt0} et {y^{\prime}\lt0} en fonction de {x} et {y}.
3. (a) Montrer qu’on peut, au moyen de produits par {A^{-1},B^{-1},C^{-1}}, transformer en un nombre fini d’étapes un triplet pythagoricien {(x_0,y_0,z_0)} quelconque en {(1,0,1)}.
3. (b) Appliquer cette méthode au triplet {(60,91,109)}. En déduire explicitement une matrice {Q} de {\mathcal H} telle que {Q\left(\begin{array}{r}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}60\\[4pt]91\\[4pt]109\end{array}\right).}
4. (a) Soient {(x,y,z)} et {(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})} dans {\mathcal T}. Montrer qu’il existe au moins une matrice {M} de {\mathcal H} telle que {M\left(\begin{array}{r}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}x^{\prime}\\[4pt]y^{\prime}\\[4pt]z^{\prime}\end{array}\right).}
4. (b) Montrer que les {M} de {\mathcal H} telles que {M\left(\begin{array}{r}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{array}\right)}sont les matrices de {\mathcal R\cup\mathcal S}.
4. (c) En déduire toutes les matrices {M} de {\mathcal H} qui vérifient l’égalité {M\left(\begin{array}{r}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}60\\[4pt]91\\[4pt]109\end{array}\right).}(On n’ira pas jusqu’à expliciter ces matrices.)

Quatrième partie

1. Soit {\mathcal E} l’ensemble des suites réelles {(a_n)} telles que : {\forall n\in\mathbb N,\ a_{n+3}-7a_{n+2}+7a_{n+1}-a_n=0}.

1. (a) Montrer que {\mathcal E} est un espace vectoriel de dimension {3} sur {\mathbb R}.
1. (b) Donner une base de {\mathcal E} formée de suites géométriques.

2. Donner l’expression du terme général des suites suivantes de {\mathcal E}.

2. (a) La suite {(u_n)} définie par {u_0=1} et {u_1=u_2=0}. Calculer {u_3} et {u_4}.
2. (b) La suite {(v_n)} définie par {v_0=0}, {v_1=1} et {v_2=0}.
2. (c) La suite {(w_n)} définie par {w_0=w_1=0} et {w_2=1}.
3. (a) Montrer que {A^3} est une combinaison linéaire de {I,A,A^2}.
3. (b) Montrer que pour {n} de {\mathbb N}, on a {A^n=u_nI+v_nA+w_nA^2}.
4. Déterminer une application injective {f} de {\mathbb N} dans {\mathcal T}.