Dans tout le problème :
– {n} est un entier naturel non nul.
– {\mathcal M_n(\mathbb K)} est l’ensemble des matrices carrées d’ordre {n} à coefficients dans {\mathbb K}.
On notera {A=(a_{i,j})} pour exprimer que {A} est une matrice dont le coefficient situé à l’intersection de la ligne {i} et de la colonne {j} est {a_{i,j}}. On pourra également noter {a_{i,j}=[A]_{i,j}}.
– {E} est un espace vectoriel sur {\mathbb K} ({\mathbb R} ou {\mathbb C}) de dimension finie {n}.
– {\mathcal L(E)} désigne l’ensemble des endomorphismes de {E}.
Pour tous éléments {f,g} de {\mathcal L(E)}, on note {[f,g]=f\circ g-g\circ f}.
– {\mathcal P_E} désigne l’ensemble des projecteurs (projections vectorielles) de {E}.
Première partie
On rappelle que si {A=(a_{i,j})} est un élément de {\mathcal M_n(\mathbb K)}, la « trace de {A} » est {\operatorname{tr}(A)=\sum\limits_{i=1}^n a_{ii}}.
1. Montrer que si {A} et {B} sont dans {\mathcal M_n(\mathbb K)}, alors {\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)}.
4. Sur l’ensemble {\mathcal P_E}, on pose {p\mathcal Rq\Longleftrightarrow p\circ q=q\circ p=p}.
Montrer que {\mathcal R} est une relation d’ordre sur {\mathcal P_E} (c’est-à-dire qu’elle est réflexive, transitive et antisymétrique).
5. Dans cette question, on suppose que {E=\mathbb K^4}. On pose : {A=\frac13\left(\begin{array}{rrrr}2&1&-2&0\\[4pt]0&3&0&0\\[4pt]-1&1&1&0\\[4pt]0&0&0&0\end{array}\right).}Soit {p} dans {\mathcal L(E)}, de matrice {A} dans la base canonique.
5. (a) Montrer que {p} est un projecteur de {E}.
Préciser une base {(\varepsilon')} de l’image de {p}, et une base {(\varepsilon'')} du noyau de {p}.
On note alors {(\varepsilon)} la base de {E} obtenue par juxtaposition de {(\varepsilon')} et de {(\varepsilon'')}.
5. (b) Caractériser par leur matrice dans {(\varepsilon)} les {f} de {\mathcal L(E)} tels que {[p,f]=0}.
Interpréter le résultat obtenu en termes de stabilité.
6. Soit {p} un élément quelconque de {\mathcal P_E}, et soit {f} un élément de {\mathcal L(E)}.
Montrer que {[p,f]=0} si et seulement si {\operatorname{Im}p} et {\operatorname{Ker}p} sont stables par {f}.
7. (b) Montrer que, au sens de la relation d’ordre {\mathcal R} sur {\mathcal P_E} :
– Le projecteur {p\circ q} est le plus grand des minorants de {p} et {q}.
– Le projecteur {p+q-p\circ q} est le plus petit des majorants de {p} et {q}.
1. (b) On suppose que {f^m\ne0}, avec {m\geq0}.
Montrer alors que les applications {\operatorname{Id}_E,f,f^2,\ldots,f^m} sont libres dans {\mathcal L(E)}.
2. Dans cette question, on suppose que {f,g} sont deux éléments distincts de {\mathcal P_E}.
On suppose également que {\alpha} n’est ni égal à {0}, ni égal à {1}.
2. (a) Montrer que {2\alpha g\circ f+\beta(1+\alpha)g=\alpha(1-\alpha)f}.
2. (d) Réciproquement, montrer que si {p,q} sont deux projecteurs tels que {\left\{\begin{array}{l}\operatorname{Im}q\subset\operatorname{Im}p\\[4pt]q\circ p=p\end{array}\right.}, alors on a l’égalité {[p,q]=q-p}.
3. Dans cette question, on suppose que {f,g} sont distincts de {\mathcal P_E}, avec {f\ne0}.
On suppose également que {\alpha} n’est ni égal à {0}, ni égal à {-1}.
3. (b) Réciproquement, montrer que si {p,q} sont deux projecteurs tels que {\left\{\begin{array}{l}\operatorname{Ker}p\subset\operatorname{Ker}q\\[4pt]p\circ q=p\end{array}\right.}, alors on a l’égalité {[p,q]=p-q}.