Étude d’une famille de matrices

Pour tout {(a,b,c)\in\mathbb C^3}, on note{M(a,b,c)=\begin{pmatrix}a&-c&b\\[4pt]-b&a&-c\\[4pt]c&-b&a\end{pmatrix}}et{A=\begin{pmatrix}0&0&1\\[4pt]-1&0&0\\[4pt]0&-1&0\end{pmatrix}} On pose {E=\{M(a,b,c)\mid(a,b,c)\in\mathbb C^3\}}.

Pour tous {\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb C}, on note{\operatorname{diag}(\alpha,\beta,\gamma)=\begin{pmatrix}\alpha&0&0\\[4pt]0&\beta&0\\[4pt]0&0&\gamma\end{pmatrix}}, et notamment {I=\operatorname{diag}(1,1,1)}. On utilise la notation usuelle {j=e^{2i\pi/3}} ; ainsi {j^3=1} et {1+j+j^2=0}.

1. (a). Pour tout {n\in\mathbb N}, calculer {A^n}.

1. (b). Montrer que {A} est inversible et calculer {A^{-1}}.

2. Montrer que {E} est une sous-algèbre commutative de {\mathcal M_3(\mathbb C)}. En donner la dimension et une base.

3. (a). Pour tout {\lambda\in\mathbb C}, calculer {(A-\lambda I)(A^2+\lambda A+\lambda^2I)}.

3. (b). Montrer que si {\lambda\in\{1,j,j^2\}}, alors {A-\lambda I} n’est pas inversible.

3. (c). Montrer que si {\lambda\notin\{1,j,j^2\}}, alors {A-\lambda I} est inversible. Exprimer alors {(A-\lambda I)^{-1}} en fonction de {I,A,A^2}.

4. Dans toute la suite du problème, on note {\Delta=\operatorname{diag}(1,j,j^2)} et{P=\begin{pmatrix}1&1&1\\[4pt]-1&-j^2&-j\\[4pt]1&j&j^2\end{pmatrix}} On pose, pour tout {M\in\mathcal M_3(\mathbb C)},{\varphi(M)=P^{-1}MP}

4. (a). Prouver que {P} est inversible et calculer {P^{-1}}.

4. (b). Montrer que {\varphi} est un isomorphisme de l’algèbre {\mathcal M_3(\mathbb C)}, et préciser {\varphi^{-1}}.

4. (c). Sans utiliser l’expression de {P^{-1}}, vérifier que {\varphi(A)=\Delta}. Calculer également {\varphi(A^2)}.

4. (d). Pour tout {(a,b,c)\in\mathbb C^3}, montrer que{\varphi(M(a,b,c))=\operatorname{diag}(f,g,h)}, où {f=f(a,b,c)}, {g=g(a,b,c)} et {h=h(a,b,c)} sont définis par{\left\{\begin{array}{l}f(a,b,c)=a+b+c,\\[4pt]g(a,b,c)=a+jb+j^2c,\\[4pt]h(a,b,c)=a+j^2b+jc.\end{array}\right}

4. (e). Soit {\psi} la restriction de {\varphi} à {E}. Montrer que {\psi} est un isomorphisme de {E} sur la sous-algèbre {D} de {\mathcal M_3(\mathbb C)} formée des matrices diagonales.

4. (f). Indiquer une condition nécessaire et suffisante (sur les coefficients {a,b,c}) pour qu’une matrice {M=M(a,b,c)} de {E} soit inversible, et montrer qu’alors {M^{-1}} est dans {E}.

5. On reprend ici les notations et résultats de la question 4.

5. (a). Déterminer les matrices de {\mathcal M_3(\mathbb C)} qui commutent avec {\Delta}.

5. (b). Montrer que les matrices de {\mathcal M_3(\mathbb C)} qui commutent avec {A} sont les matrices de {E}.

6. On reprend ici les notations et résultats des questions 4. et 5.

6. (a). Soit {M} une matrice inversible de {E}. Montrer qu’il y a exactement {8} matrices {X} de {E} telles que {X^2=M}.

6. (b). Montrer qu’il y a exactement {8} matrices {X} de {\mathcal M_3(\mathbb C)} telles que {X^2=A}.