Points d’équilibre dans le plan

On se place dans le plan {\mathbb{R}^2} euclidien orienté.

Soit {\mathcal{E}=\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}} un ensemble de {n} points distincts de {\mathbb{R}^2} ({n\ge2}, fixé).

Tout point {M} de {\mathbb{R}^2\setminus\mathcal{E}} subit de la part de chacun des {A_k} une force {\overrightarrow{F_k(M)}=\dfrac{\overrightarrow{MA_k}}{MA_k^2}}.

On note {d(\mathcal{E})=\Bigl\{M\in\mathbb{R}^2\setminus\mathcal{E},\;\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\overrightarrow{F_k(M)}=\overrightarrow{0}\Bigr\}}.

{d(\mathcal{E})} est donc l’ensemble des « positions d’équilibre ».

Question 1. Déterminer {d(\mathcal{E})} dans le cas particulier {n=2}.

Dans cette question, on suppose que les points {A_k} sont sur une même droite {\Delta}.

Question 2.(a) Montrer que {d(\mathcal{E})} est inclus dans la droite {\Delta}.

Question 2.(b) Montrer que {d(\mathcal{E})} est formé de {n-1} points distincts de {\Delta\setminus\mathcal{E}}. On précisera comment ces points se répartissent par rapport aux {A_k}. Indication : munir {\Delta} d’un repère {(\Omega,\overrightarrow{u})}, noter {\alpha_k} l’abscisse de chaque {A_k} dans ce repère, et supposer par exemple {\alpha_1\lt \alpha_2\lt \ldots\lt \alpha_n}.

À partir de cette question, on revient au cas général.

On note {a_k} l’affixe de chaque {A_k}.

On pose {Q=\prod\limits_{k=1}^{n}(X-a_k)}.

Question 3.(a) Soit {M} un point de {\mathbb{R}^2\setminus\mathcal{E}}, d’affixe {z}. Montrer que :{M\in d(\mathcal{E})\Leftrightarrow Q'(z)=0}. On en déduit {1\le\text{Card}(d(\mathcal{E}))\le n-1}.

Question 3.(b) Si {\text{Card}(d(\mathcal{E}))= n-1}, montrer que {\mathcal{E}} et {d(\mathcal{E})} ont même isobarycentre.

Question 3.(c) On suppose toujours {\text{Card}(d(\mathcal{E}))= n-1}. Soit {\mathcal{E}'} un autre ensemble de {n} points distincts du plan tel que {d(\mathcal{E}')=d(\mathcal{E})}. Montrer que {\mathcal{E}} et {\mathcal{E}'} sont disjoints ou confondus.

Question 4.(a) Montrer que si {s} est une similitude du plan, alors {s(d(\mathcal{E}))=d(s(\mathcal{E})}).

Question 4.(b) On suppose que {d(\mathcal{E})} est réduit à un point. Montrer que {\mathcal{E}} est l’ensemble des sommets d’un polygône régulier.

Question 4.(c) Montrer que la réciproque de la question précédente est vraie.

Question 5. On suppose ici que {n=4} et que {\mathcal{E}} est un rectangle non aplati, non carré. Montrer que {\text{Card}(d(\mathcal{E}))=3} et que {d(\mathcal{E})=\{0,F,F'\}} où {O} est le centre de {\mathcal{E}} et où {F,F'} sont les foyers de l’ellipse inscrite dans {\mathcal{E}} et tangente aux cotés de {\mathcal{E}} en leur milieu. (on pourra se ramener au cas où {\mathcal{E}} est centré en {0} et de cotés parallèles aux axes).