Récurrences matricielles

On pose :
{I=\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&1\end{array}\right),}{M=\left(\begin{array}{rrr}2&-1&-1\\[4pt]1&-2&1\\[4pt]-3&3&0\end{array}\right),}{A=\left(\begin{array}{rrr}2&-1&-1\\[4pt]0&0&0\\[4pt]-2&1&1\end{array}\right),}{B=\left(\begin{array}{rrr}0&0&0\\[4pt]-1&2&-1\\[4pt]1&-2&1\end{array}\right).}On définit une suite {(X_n)_{n\geq0}} de {\mathcal M_3(\mathbb R)} par {X_0=0} et, {\forall n\in\mathbb N^*,\ X_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}M^k}.

1. Calculer {AB,BA,A^2}, et {B^2}. En déduire {A^k,B^k}, et {M^k} pour tout {k\geq1}.
2. Pour tout {n\geq1}, exprimer {X_n} en fonction de {I,A,B}.
3. (a) On pose {Y=I-M}. Montrer que {Y} est inversible et calculer {Y^{-1}}.
3. (b) Prouver que pour tout {n\geq0}, on a {X_n=Y^{-1}(I-M^n)}.

4. Soit {\alpha} un réel distinct de {1}, et soit {\lambda} un réel non nul.
On définit une suite {(y_n)_{n\geq0}} par la donnée de {y_0} dans {\mathbb R} et par : {\forall n\geq1,\ y_n=\alpha y_{n-1}+\lambda n^2}.

4. (a) Montrer qu’il existe une suite du type {n\mapsto P_n=a+bn+cn^2} telle que pour tout {n\geq1} on ait l’égalité {P_n=\alpha P_{n-1}+\lambda n^2} (on calculera {a,b,c} en fonction de {\alpha} et {\lambda}).
4. (b) Pour tout {n} de {\mathbb N}, on pose {x_n=y_n-P_n}.
Calculer {x_n} puis {y_n} en fonction de {n,\alpha,\lambda,y_0}.
5. On définit la suite {(S_n)} de {\mathcal M_{31}(\mathbb R)} par :
{\forall n\in\mathbb N^*,\ S_n=MS_{n-1}+N}, où :
{S_0=\left(\begin{array}{r}-1\\[4pt]-4\\[4pt]-1\end{array}\right),\quad N=\left(\begin{array}{r}3\\[4pt]-5\\[4pt]-4\end{array}\right).}Montrer que {S_n=M^nS_0+X_nN} pour tout {n} de {\mathbb N}. En déduire {S_n}.

6. On définit la suite {(S_n)} de {\mathcal M_{31}(\mathbb R)} par :
{\forall n\geq1,\ S_n=MS_{n-1}+N_n}, où :
{S_0=\left(\begin{array}{r}2\\[4pt]1\\[4pt]-3\end{array}\right),\quad N_n=\left(\begin{array}{r}2m^2\\[4pt]m^2\\[4pt]-2m^2\end{array}\right).}Pour tout {n\geq0}, on pose :
{S_n=\left(\begin{array}{r}\alpha_n\\[4pt]\beta_n\\[4pt]\gamma_n\end{array}\right)\quad\text{et}\quad\left\{\begin{array}{l}u_n=\alpha_n+\beta_n+\gamma_n\\[4pt]v_n=2\alpha_n-\beta_n-\gamma_n\\[4pt]w_n=\alpha_n-2\beta_n+\gamma_n.\end{array}\right.}

6. (a) Montrer que pour tout {n} de {\mathbb N}, on a {u_n=n^2}.

6. (b) Établir une relation de récurrence entre {v_n} et {v_{n-1}}.
En déduire l’expression de {v_n} en fonction de {n}.
6. (c) Établir une relation de récurrence entre {w_n} et {w_{n-1}}.
En déduire l’expression de {w_n} en fonction de {n}.
6. (d) En déduire finalement l’expression de {S_n} pour tout {n} de {\mathbb N}.