Un déterminant à paramètre

Soit {n\in\mathbb N^*}. Soit {A_n=(a_{ij})\in\mathcal M_n(\mathbb C)} définie par {a_{ij}=\begin{cases}-1&\text{si }j\lt i\\[4pt]0&\text{si }j=i\\[4pt]1&\text{si }j>i\end{cases}}Donc {A_n=\begin{pmatrix}0&1&\cdots&1\\[4pt]-1&\ddots&\ddots&\vdots\\[4pt]\vdots&\ddots&\ddots&1\\[4pt]-1&\cdots&-1&0\end{pmatrix}}On note {I_n} la matrice identité d’ordre {n}.

Pour tout {\alpha\in\mathbb C}, on pose {M_n(\alpha)=A_n+\alpha I_n} et {D_n(\alpha)=\det M_n(\alpha)}.

On note {f_\alpha} l’endomorphisme de {\mathbb C^n} de matrice {M_n(\alpha)} dans la base canonique.

Les parties I et II sont totalement indépendantes, et devront être traitées comme telles.

Première partie

On note {u=(x_1,\ldots,x_n)} un vecteur quelconque de {\mathbb C^n}.

Pour tout {k\in\{1,\ldots,n\}}, on pose {\theta_k=\frac{(2k-1)\pi}{2n},\quad\omega_k=\exp(2\mathrm i\theta_k)}et {\alpha_k=-\mathrm i\cot\theta_k}.

1. Montrer que l’égalité {f_\alpha(u)=0} équivaut au système {\begin{cases}(\alpha-1)x_k=(\alpha+1)x_{k-1}&(2\leqslant k\leqslant n)\\[4pt]x_1+\cdots+x_{n-1}=\alpha x_n&\end{cases}}Vérifier que {f_1} est un automorphisme de {\mathbb C^n}.

2. Pour tout {\alpha} distinct de {1}, on pose {q_\alpha=\dfrac{\alpha+1}{\alpha-1}}.

(a) Montrer que si {q_\alpha^n\ne-1}, alors {f_\alpha} est un automorphisme de {\mathbb C^n}.

(b) Vérifier que {q_\alpha^n=-1} équivaut à {\alpha\in\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\}}.

(c) Dans cette question, on suppose que {\alpha=\alpha_k}, avec {1\leqslant k\leqslant n}. Montrer que {\ker f_{\alpha_k}} est la droite engendrée par {u_k=(1,\omega_k,\omega_k^2,\ldots,\omega_k^{n-1})}.

(d) Préciser le rang de l’application {f_\alpha}, suivant les valeurs de {\alpha}.

3. On reprend ici les notations de la question précédente, et {\alpha} est quelconque dans {\mathbb C}.

(a) Montrer que les vecteurs {u_1,u_2,\ldots,u_n} forment une base de {\mathbb C^n}.

(b) Préciser la matrice de {f_\alpha} dans cette base.

(c) En déduire que le déterminant de {f_\alpha} est égal à {\frac{(\alpha-1)^n+(\alpha+1)^n}{2}}

Deuxième partie

Dans cette partie, on voit deux méthodes distinctes de calcul de {D_n(\alpha)}.

1. (a) Calculer {D_1(\alpha)} et {D_2(\alpha)}. Montrer que si {n\geqslant3}, alors {\begin{array}{l}D_n(\alpha)-2\alpha D_{n-1}(\alpha)\\[4pt]\hspace{1em}+(\alpha^2-1)D_{n-2}(\alpha)=0\end{array}}

1. (b) En déduire l’expression de {D_n(\alpha)} pour tout {n\in\mathbb N} et tout {\alpha\in\mathbb C}.

2. Pour tout {n\geqslant1}, on note {J_n} la matrice de {\mathcal M_n(\mathbb C)} dont tous les coefficients valent {1}.

Pour tous complexes {\alpha} et {x}, on pose {\Delta_n(\alpha,x)=\det(M_n(\alpha)+xJ_n)}.

(a) Montrer que {x\mapsto\det(M_n(\alpha)+xJ_n)} est une fonction affine de la variable {x}.

(b) Retrouver l’expression de {D_n(\alpha)} pour tout {n\in\mathbb N} et tout {\alpha\in\mathbb C}.

3. (a) Montrer que si {D_n(\alpha)=0}, alors {D_{n-1}(\alpha)\ne0}.

3. (b) En déduire le rang de la matrice {M_n(\alpha)} quand elle n’est pas inversible.

4. Dans cette question, on fixe {n\geqslant1}, et on définit les {\theta_k} et les {\alpha_k} comme au début de la partie I. Montrer que les solutions de {D_n(\alpha)=0} sont les {\alpha_k=-\mathrm i\cot\theta_k}, avec {1\leqslant k\leqslant n}.