L’espace vectoriel {\mathbb R^3} est rapporté à la base canonique {(e_1,e_2,e_3)}. On donne quatre réels {a,b,c,k} tels que {a^2+b^2+c^2=1} et {k\ne0}. On désigne par {I} la matrice identité d’ordre {3}.
Soit {f} l’endomorphisme de {\mathbb R^3} dont la matrice dans la base canonique est {T=\begin{pmatrix}0&c&-b\\[4pt]-c&0&a\\[4pt]b&-a&0\end{pmatrix}}
Première partie
1. Calculer {T^2}. Exprimer {T^3} en fonction de {T}.
2. Trouver le rang de {f} et déterminer son noyau.
3. Montrer que la matrice {B_k=kI+T} est inversible.
4. Montrer qu’il existe trois réels {u,v,w}, dépendant de {k}, tels que {B_k^{-1}=uI+vT+wT^2}.
5. En déduire que les matrices {(kI+T)^{-1}} et {kI-T} commutent.
Deuxième partie
On note {g_k} l’endomorphisme de {\mathbb R^3} de matrice {A_k=(kI+T)^{-1}(kI-T)} dans la base canonique.
1. Quels sont les vecteurs {x\in\mathbb R^3} tels que {g_k(x)=x} ?
2. Montrer que {A_k} est inversible et que {A_k^{-1}=A_k^{\mathsf T}=A_{-k}}.
3. Montrer que {I+A_k} est inversible et que {T=k(I-A_k)(I+A_k)^{-1}}
4. Écrire explicitement la matrice {A_k} en fonction de {I,k,T,T^2}.
5. On pose {k=\tan\left(\dfrac\pi2-\dfrac\theta2\right)=\cot\dfrac\theta2}, avec {-\pi\lt\theta\lt\pi} et {\theta\ne0}. Cette dernière exclusion est nécessaire pour que {k} soit défini.
(a) On suppose d’abord {a=1} et {b=c=0}. Identifier {g_k} à une transformation géométrique simple.
(b) On suppose {(b,c)\ne(0,0)}. Montrer que {u_1=(a,b,c)}, {u_2=f(e_1)} et {u_3=-f^2(e_1)} forment une base de {\mathbb R^3}.
(c) Quelles sont les matrices {\widetilde T} et {\widetilde A_k} de {f} et de {g_k} dans cette base ?
(d) Soient {k_1,k_2} deux réels non nuls tels que {(k_1+k_2)(1-k_1k_2)\ne0}. Montrer qu’il existe un réel non nul {k} tel que {g_k=g_{k_1}\circ g_{k_2}}. Exprimer {k} en fonction de {k_1,k_2}.