On note {E} l’espace vectoriel des applications de classe {\mathcal C^\infty} de {\mathbb R} dans {\mathbb R}.
Pour toute application {f} de {E} et pour tout réel {t}, on pose {\forall x\in\mathbb R,\quad f_t(x)=f(x+t)}On dit que l’application {f_t}, qui appartient à {E}, est une translatée de {f}.
On note {E_f} le sous-espace de {E} engendré par les {f_t}, c’est-à-dire l’ensemble des applications {g} de {E} qui peuvent s’écrire au moins d’une manière sous la forme {g=\lambda_1f_{t_1}+\lambda_2f_{t_2}+\cdots+\lambda_pf_{t_p}}où {\lambda_1,\ldots,\lambda_p} et {t_1,\ldots,t_p} sont des familles de {p} réels quelconques, {p} étant lui-même un entier positif quelconque.
1. Dans chacun des cas suivants, vérifier que {E_f} est de dimension finie et en donner une base formée de fonctions du type {f_t} :
(a) L’application {f} est définie par {f(x)=\exp(x)}.
3. On suppose que {f} est définie par {f(x)=\exp(\exp x)}. Montrer que pour tout entier {n\geqslant0}, les fonctions {f_0,f_1,\ldots,f_n} forment une famille libre. Qu’en déduit-on pour le sous-espace {E_f} ?
4. Dans cette question, on caractérise les familles libres finies de {E} à l’aide d’un déterminant.
(a) Soit {(g_1,g_2)} une famille libre de {E}. Montrer qu’on peut trouver deux réels distincts {a_1,a_2} tels que le déterminant {\begin{vmatrix}g_1(a_1)&g_1(a_2)\\[4pt]g_2(a_1)&g_2(a_2)\end{vmatrix}}soit non nul.
(b) Montrer plus généralement que si {(g_1,g_2,\ldots,g_n)} est une famille libre de {E}, on peut trouver {n} réels {a_1,a_2,\ldots,a_n} distincts deux à deux, tels que le déterminant {\Delta_n}, carré d’ordre {n} et de terme général {\delta_{ij}=g_i(a_j)}, soit non nul.
5. Soit {f\in E}, tel que {\dim E_f=n\geqslant1}. Soit {(g_1,\ldots,g_n)} une base de {E_f}.
(a) Montrer qu’il existe une unique suite {(h_1,\ldots,h_n)} d’applications de {\mathbb R} dans {\mathbb R} telle que, pour tout {(x,t)\in\mathbb R^2}, {\begin{array}{rl}f(x+t)&=h_1(t)g_1(x)+h_2(t)g_2(x)\\[4pt]&\phantom{=}+\cdots+h_n(t)g_n(x)\end{array}}
(b) Montrer qu’on peut trouver {n} réels {a_1,\ldots,a_n} distincts deux à deux tels que, pour tout {j\in\{1,\ldots,n\}}, {h_j} soit combinaison linéaire de {f_{a_1},\ldots,f_{a_n}}.
Indication : utiliser 4(b) et considérer un certain système de Cramer.
En conclure que {h_1,h_2,\ldots,h_n} appartiennent à {E_f}.
(c) Montrer que les dérivées successives de {f} sont dans {E_f} (utiliser 5(a)). En déduire que {f} satisfait à une équation différentielle linéaire d’ordre {n} à coefficients constants.