Calculs matriciels Exercices corrigés

-espace de dimension finie. On vérifie que ses éléments ont le même rang. On étudie le cas particulier du groupe des permutations des vecteurs d’une base de

{E}

➡️

À la manière du déterminant

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{D :E=\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\to\mathbb{\mathbb{K}}}

non constante.
On suppose que :

{\forall\,(A,B)\in E^2,\;D(AB)=D(A)D(B)}

.
Montrer que

{A\in E}

est inversible

{\Leftrightarrow D(A)\neq 0}

➡️

Projecteur composé de nilpotents

(Oral Mines-Ponts)
Pour

{1\le i,j,k\le n}

, soit

{a_{ij}^{(k)}=\begin{cases}1\text{\ si\ }i=j+k\\0\text{\ sinon}\end{cases}}

Soit

{A_{k}=\left(a_{ij}^{(k)}\right)_{1\leq i,j\leq n}}

. Calculer

{M_k=A_{k}^{\top}A_{k}}

.
Soit

{p\neq \text{Id}}

un projecteur de

{\mathbb{R}^{n}}

. Montrer que

{p}

est la composée de deux endomorphismes nilpotents.

➡️

Racines carrées d’une matrice

(Oral CCInp)
On détermine les racines carrées de

{A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}}

➡️

Sous-espace de matrices de rang borné

(Oral Centrale)
Soit

{\mathcal{V}}

un sous-espace de

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

contenant

{\begin{pmatrix}I_{r} & 0 \\0 &0\end{pmatrix}}

.
On suppose :

{\forall\,M\in\mathcal{V},\;\textrm{rg}(M)\le r}

.
Montrer que

{\dim \mathcal{V}\leq nr}

➡️

Conditions suffisantes d’inversibilité

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=(a_{i,j})\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

.
Pour

{i\in \lbrack\lbrack 1,n]]}

, on note

{L_{i}=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k\neq i}|a_{i,k}|}

.
On suppose

{|a_{i,i}|>L_{i}}

pour tout

{i}

.
Montrer que

{A}

est inversible.
On suppose

{|a_{i,i}a_{j,j}|>L_{i}L_{j}}

pour tous

{i\neq j}

.
Montrer là encore que

{A}

est inversible.

➡️

Commutant de A quand A^2=0

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}

non nulle telle que

{A^{2}=0}

.
Déterminer la dimension de

{\mathcal{C}_{A}=\{M\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}),\;AM=MA\}}

➡️

Connaissant AB, calculer BA

(Oral Centrale)
Soient

{A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})}

{B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}

.
On suppose que

{AB =\begin{pmatrix}0&-1&-1\\-1&0&-1\\1&1&2\end{pmatrix}}

.
Calculer

{BA}

➡️

Suites polynomiales d’entiers

(Oral Centrale Mp)
Caractérisation des « suites polynomiales d’entiers »

➡️

Puissances et racines de matrices

(Oral Centrale Mp)
Pour

{A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}

, calcul de

{A^n,\,n\in\mathbb{Z}}

{A^{1/n}}

, de

{\exp(A)}

➡️

Rang d’une matrice à paramètre

Calculer le rang de

{A=}

{\begin{pmatrix}a^2 & a & 2 & 2a \\a & a^2 & 2a & 2 \\2 & 2a & a^2 & a \\2a & 2 & a & a^2\end{pmatrix}}

➡️

Inverse d’une matrice 4×4

Soit

{A=}

{\begin{pmatrix}1&1&1&1\cr1&1&-1&-1\cr1&-1&1&-1\cr1&-1&-1&-1\end{pmatrix}}

. Calculer

{A^2,A^3}

puis

{A^{-1}}

➡️

Un sous-espace de matrices

(Oral Ccp)
On identifie le sous-espace

{E=\left\{ M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R}),\;M+M^\top=2\text{tr} (M) I_n\right\}}

➡️

Carré d’une matrice de rang ≤ 1

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

, avec

{\text{rg}(A)\le 1}

.
Montrer que

{A^2=\text{tr}(A)A}

➡️

Matrices par blocs et semblables

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{N_{1}\in{\mathcal M}_{p_{1}}(\mathbb{K})}

{N_{2}\in{\mathcal M}_{p_{2}}(\mathbb{K})}

, nilpotentes.
Soit

{U_{1}\in\text{GL}_{q_{1}}(\mathbb{K})}

{U_{2}\in\text{GL}_{q_{2}}(\mathbb{K})}

.
On pose

{A=\begin{pmatrix}N_{1}&0\\ 0&U_{1}\end{pmatrix}}

{B=\begin{pmatrix}N_{2}&0\\ 0&U_{2}\end{pmatrix}}

.
Montrer que

{A\sim B\Leftrightarrow\begin{cases}p_{1}=p_{2}\\q_{1}=q_{2}\end{cases}}

{\begin{cases}N_{1}\sim N_{2}\\U_{1}\sim U_{2}\end{cases}}

➡️

Déterminant positif, par blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A, B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

{M=\begin{pmatrix}A&-B\\ B&A\end{pmatrix}}

.
Montrer que

{\det(M)\ge 0}

➡️

Si AB=BA et B nilpotente, alors…

(Oral Centrale)
Soit

{A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

, avec

{B}

nilpotente et

{AB=BA}

. Montrer l’équivalence :
(

{A}

inversible)

{\Leftrightarrow}

(

{A+B}

inversible).

➡️

Matrices réelles semblables dans Mn(ℂ)

(Oral Tpe)
Si deux matrices réelles

A,B

sont semblables dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

, elles le sont dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

➡️

Matrices nilpotentes de même rang

(Oral Centrale)
Soient

{A,B\in {\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

, de même rang, telles que

{A^k=B^k=0}

. Si

k=2

, montrer que

A,B

sont semblables. Et si

k=3

➡️

Le commutant de GLn(ℂ)

(Oral Centrale)
Déterminer les matrices

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

telles que :

{\forall M\in\text{G}L_n(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}

➡️

Trace de M → AMB

(Oral Ensam)
Soient

{A,B}

dans

{{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

.
Calculer la trace de

\Phi\colon M\mapsto AMB

➡️

Racine de matrice nilpotente

(Oral Ensam)
Existe-t-il

{B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{K})}

telle que

{B^2=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}}

➡️

Sommes de projecteurs

(Oral X-Cachan)
Dans cet exercice, on établit l’équivalence de conditions pour qu’une matrice carrée

A

puisse s’écrire comme la somme de

k

matrices de projections

A_1,A_2,\ldots,A_k

vérifiant les égalités

A_iA_j=0

pour tous

i\ne j

➡️

Matrices bistochastiques, épisode 7

Pour les notations et les résultats précédents : Ep1, Ep2, Ep3, Ep4, Ep5, Ep6.
Écrire une fonction Python traverse d’argument une matrice carrée

{A=(a_{i,j})}

et renvoyant (si elle existe) la première permutation

{\sigma}

(au sens lexicographique) telle que les

{a_{\sigma(j),j}}

soient non nuls.

➡️

Matrices bistochastiques, épisode 6

Pour les notations et les résultats précédents : Ep1, Ep2, Ep3, Ep4, Ep5.
Soit

{A}

une matrice positive magique de somme

{\mu>0}

.
On sait que

{A=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_{k}P_{k}}

, (avec

{\alpha_k>0}

{\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_k=\mu}

, les

{P_k}

matrices de permutations).
On montre ici que

{m}

peut être rendu inférieur ou égal à

{(n\!-\!1)^2\!+\!1}

➡️

Matrices bistochastiques, épisode 5

Pour les notations et les résultats précédents : Ep1, Ep2, Ep3, Ep4.
Soit

{A}

une matrice positive magique de somme

{\mu>0}

. L’objectif de cet article est de prouver que la matrice

A

peut s’écrire, au moins d’une manière, comme un barycentre (à coefficients strictement positifs) de matrices de permutation.

➡️

Matrices bistochastiques, épisode 4

On reprend les définitions et les notations de l’épisode 1.
Pour

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, et pour

{\sigma\in\mathcal{S}_{n}}

, on note

{\sigma(A)=\displaystyle\prod_{j=1}^{n}a_{\sigma(j),j}}

.
On dit que

{A}

est traversable s’il existe

{\sigma\in\mathcal{S}_{n}}

telle que

{\sigma(A)\ne0}

.
On montre ici que toute matrice magique de somme

{\mu>0}

(et en particulier toute matrice bistochastique) est traversable

➡️

Matrices bistochastiques, épisode 3

On reprend les définitions et les notations de l’épisode 1.
On montre ici que tout élément extrémal de l’espace

{\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})}

des matrices bistochastiques est une matrice de permutation

P_{\sigma}

➡️

Matrices bistochastiques, épisode 2

On reprend les définitions et les notations de l’épisode 1.
On étudie ici l’espace

\mathcal{B}_n(\mathbb{R})

des matrices bistochastiques. On montre que

{\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})}

est compact et stable pour le produit, et convexe. On prouve aussi que les matrices de permutation sont extrémales dans

{\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})}

➡️

Matrices bistochastiques, épisode 1

Soit

{A=(a_{i,j})_{0\le i,j\le n-1}}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

.
On dit que

A

est

{\mu}

–magique si la somme de chaque ligne et de chaque colonne vaut

{\mu}

.
On dit que

{A}

est bistochastique si

A

est

{1}

-magique et si les

{a_{i,j}}

sont positifs ou nuls.
On note

{\mathcal{B}_n(\mathbb{R})}

l’ensemble des matrices bistochastiques d’ordre

n

.
On note

{\mathcal{P}_n(\mathbb{R})\subset\,\mathcal{B}_n(\mathbb{R})}

l’ensemble des matrices de permutations

{P_{\sigma}}

d’ordre

n

.
On illustre ici ces notions avec Python.

➡️

Rang d’une matrice par blocs

Soit

{M=\begin{pmatrix}A &B\\C&D\end{pmatrix}\in {\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{A\in{\text{GL}}_{p}(\mathbb{R})}

.
Montrer que :

{\text{rg}(M)=p\Leftrightarrow D=CA^{-1}B.\quad}

➡️

Hyperplans et matrices inversibles

Soit

H

un hyperplan quelconque de

{{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}

.
Montrer que

H

contient au moins une matrice inversible.

➡️

Matrice de projecteur

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})}

{B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}

.
On suppose que

{AB=\small\begin{pmatrix}0&-1&x\\-1&0&y\\-1&-1&z\end{pmatrix}}

.
Déterminer

{(x,y,z)}

pour que

{AB}

soit la matrice d’un projecteur.
Dans ce cas, déterminer

{BA}

➡️