Intégrales généralisées
Prouver l’égalité {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(t)}{1-t^{2}}\,\text{d}t=-\dfrac{\pi^{2}}{8}}.
Prouver l’égalité {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{t\,\text{d}t}{\text{e}^{t}-1}=\dfrac{\pi^{2}}{6}}.
Intégration
Une jolie égalité intégrale/série
Prouver l’égalité {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\,\text{d}x}{\,x^{x}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\,\dfrac{1}{n^{n}}}.
Encore une intégrale à paramètre
Pour tout réel {x}, montrer que : {\forall\,x\in\mathbb{R},\;\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(xt)}{t}\text{e}^{-t}\,\text{d}t=\arctan(x)}
Calcul d’une intégrale à paramètre
Montrer : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\text{e}^{-t^{2}}\cos(xt)\,\text{d}t=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\,\text{e}^{-x^{2}/4}}
Une intégrale généralisée (2/2)
Existence et calcul de {g(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-t}-\text{e}^{-xt}}{t}\text{d}t}.
Une intégrale généralisée (1/2)
Existence et calcul de {I=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-x}-\text{e}^{-2x}}{x}\,\text{d}x}.
Une intégrale « nulle »
Existence puis calcul de {\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}\,\text{d}x}.
Fonctions de carré intégrable
Soit {f} dans {\mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}. On suppose que {f} et {f''} sont de carré intégrable sur {\mathbb{R}}.
Montrer que {f'} est de carré intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.
Montrer que {f'} est de carré intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.
Intégrale de Lejeune-Dirichlet
Étudier la fonction {g(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\text{e}^{-xt}\dfrac{1-\cos(t)}{t^{2}}\,\text{d}t}.
En déduire {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(t)}{t}\,\text{d}t=\dfrac{\pi}{2}}.
En déduire {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(t)}{t}\,\text{d}t=\dfrac{\pi}{2}}.
Intégrale de Gauss
Dérivabilité de {g(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\text{e}^{-(1+t^{2})x}}{1+t^{2}}\,\text{d}t}.
En déduire {\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\text{e}^{-u^{2}}\,\text{d}u=\sqrt{\pi}}.
En déduire {\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\text{e}^{-u^{2}}\,\text{d}u=\sqrt{\pi}}.
Intégrale généralisée « complexe »
Existence et calcul de l’intégrale {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}t}{\text{e}^{t}-i}}.
Intégrales de Wallis hyperboliques
(Oral Centrale)
On étudie {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}\,\text{sh}^n(t)\,\text{d}t} où \text{sh}(\alpha)=1
(calcul approché avec Python, relation de récurrence, limite, équivalent, séries…)
On étudie {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}\,\text{sh}^n(t)\,\text{d}t} où \text{sh}(\alpha)=1
(calcul approché avec Python, relation de récurrence, limite, équivalent, séries…)
Quand le nombre d’urnes est infini
(Oral Centrale)
Pour {k\in [[1,p]]}, l’urne numéro {k} contient {k} boules noires et {p-k} boules blanches.
On choisit au hasard une urne puis on y tire {2n} boules avec remise. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu {n} boules noires? Quelle est sa limite quand p\to+\infty?
Pour {k\in [[1,p]]}, l’urne numéro {k} contient {k} boules noires et {p-k} boules blanches.
On choisit au hasard une urne puis on y tire {2n} boules avec remise. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu {n} boules noires? Quelle est sa limite quand p\to+\infty?
Intégrale d’intégrale
(Oral Mines-Ponts)
Existence et calcul de {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl(\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t}\text{d}t\biggr)\text{d}x}.
Existence et calcul de {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl(\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t}\text{d}t\biggr)\text{d}x}.
Équation différentielle y″=(1+x4)y
(Oral Centrale)
On trouve une base du plan des solutions de {(\star):\; y''=(1+x^{4})y}, connaissant la solution, notée f, telle que {f(0)=f'(0)=1}.
On trouve une base du plan des solutions de {(\star):\; y''=(1+x^{4})y}, connaissant la solution, notée f, telle que {f(0)=f'(0)=1}.
Limite d’une intégrale à paramètre
(Ooral Mines-Ponts)
Pour {x>0}, on pose {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\ln (t)\ln (1-t^{x})\,\text{d}t}.
Montrer que {f} est bien définie et l’écrire comme somme d’une série de fonctions.
Déterminer la limite de {f} en {0}.
Pour {x>0}, on pose {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\ln (t)\ln (1-t^{x})\,\text{d}t}.
Montrer que {f} est bien définie et l’écrire comme somme d’une série de fonctions.
Déterminer la limite de {f} en {0}.
Une équation intégrale
(Oral X-Cachan)
Résoudre dans {\mathcal{C}^{0}(\mathbb{R},\ \mathbb{R})} : {\forall x\in \mathbb{R},\;f(x)+\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\,\text{d}t=1}.
Résoudre dans {\mathcal{C}^{0}(\mathbb{R},\ \mathbb{R})} : {\forall x\in \mathbb{R},\;f(x)+\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\,\text{d}t=1}.
Équation différentielle y"+f(x)y = 0
(Oral Tpe& XEns)
On étudie l’équation {(E): y'' + f(x)y = 0}, où {f} est continue intégrable sur {\mathbb{R}}.
On étudie l’équation {(E): y'' + f(x)y = 0}, où {f} est continue intégrable sur {\mathbb{R}}.
Un endomorphisme symétrique de ℝn[X]
On munit {\mathbb{R}_{n}[X]} de {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{2}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
Étudier l’endomorphisme {P\mapsto u(P)=X(1-X)P''+(3-4X)P'}.
Étudier l’endomorphisme {P\mapsto u(P)=X(1-X)P''+(3-4X)P'}.
Limites d’intégrales généralisées
(Oral Ccp)
Existence de {J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\arctan(t)}{t^{3/2}+t^{n}}\,\text{d}t}.
Calcul de {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}J_n}.
Existence de {J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\arctan(t)}{t^{3/2}+t^{n}}\,\text{d}t}.
Calcul de {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}J_n}.
La somme des 1/k^2
(Oral Mines-Ponts)
Une méthode classique, avec du calcul intégral, pour obtenir la valeur de {\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}.
Une méthode classique, avec du calcul intégral, pour obtenir la valeur de {\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}.
Équivalents et intégrales
(Oral Mines-Ponts)
Soit {\delta\in\,]\,0,1[}. Donner un équivalent de {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\left|{\sin(t)}\right|}{t^{\delta}}\,\text{d}t} en {+\infty}.
Soit {\delta\in\,]\,0,1[}. Donner un équivalent de {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\left|{\sin(t)}\right|}{t^{\delta}}\,\text{d}t} en {+\infty}.
Intégrale et séries numériques
(Oral Ccp)
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t\ln^{2}(t)}{(1-t)^{2}}\text{d}t=2\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{2}}-\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}\Bigr)}
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t\ln^{2}(t)}{(1-t)^{2}}\text{d}t=2\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{2}}-\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}\Bigr)}
Intégrale généralisée et série
(Oral Mines)
Montrer que {I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln(1-x)}{x}\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}}.
Montrer que {I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln(1-x)}{x}\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}}.
Interversion série-intégrale
(Oral Ccp et Centrale)
On suppose {\displaystyle\sum\limits_{n\ge0}|a_{n}|\lt\infty}. Soit {f(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}t^{n}}.
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!f(t)\,\text{e}^{-t}\,\text{d}t=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}.
On suppose {\displaystyle\sum\limits_{n\ge0}|a_{n}|\lt\infty}. Soit {f(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}t^{n}}.
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!f(t)\,\text{e}^{-t}\,\text{d}t=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}.
Spectre d’un endomorphisme intégral
(Oral Ccp)
Soit {E={\mathcal C}([-\pi,\pi ],\mathbb{R})}.
Éléments propres de \Phi définie sur E par {\Phi(f)(x)=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x-t)f(t)\,\text{d}t}.
Soit {E={\mathcal C}([-\pi,\pi ],\mathbb{R})}.
Éléments propres de \Phi définie sur E par {\Phi(f)(x)=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x-t)f(t)\,\text{d}t}.
Séries de primitives
(Oral Ensam et Centrale)
Soit {f_0\in{\mathcal C}^0([a,b],\mathbb{R})} et : {\forall n\in\mathbb{N},\;\forall x\in[a,b],\;f_{n+1}(x)=\displaystyle\int_a^xf_n(t)\text{d}t}
Montrer que {\displaystyle\sum f_n} converge, et déterminer sa somme
Soit {f_0\in{\mathcal C}^0([a,b],\mathbb{R})} et : {\forall n\in\mathbb{N},\;\forall x\in[a,b],\;f_{n+1}(x)=\displaystyle\int_a^xf_n(t)\text{d}t}
Montrer que {\displaystyle\sum f_n} converge, et déterminer sa somme
Équivalent d’une somme de série
Série définie par une intégrale
(Oral Mines-Ponts)
Étudier la série de terme général {u_{n}=\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\!\!\text{e}^{-x^{n}}\,\text{d}x}.
Étudier la série de terme général {u_{n}=\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\!\!\text{e}^{-x^{n}}\,\text{d}x}.
Chebyshev et produit scalaire
(Oral X-Cachan Psi)
On munit {{\mathcal C}^{0}([-1,1],\mathbb{R})} du produit scalaire {\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\sqrt{1- x^{2}}\,\text{d}x}On définit les {U_{n}(x) = \dfrac{\sin((n+1)\arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}}.
On montre que sont des polynômes deux à deux orthogonaux. On approxime enfin {f\colon x\mapsto \sqrt{1-x^{2}}} par un polynôme de degré {\le 2}.
On munit {{\mathcal C}^{0}([-1,1],\mathbb{R})} du produit scalaire {\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\sqrt{1- x^{2}}\,\text{d}x}On définit les {U_{n}(x) = \dfrac{\sin((n+1)\arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}}.
On montre que sont des polynômes deux à deux orthogonaux. On approxime enfin {f\colon x\mapsto \sqrt{1-x^{2}}} par un polynôme de degré {\le 2}.
Minimum d’une intégrale à paramètre
(Oral X-Cachan Psi)
On pose {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}t}{t^{x}(1+t)}}.
Étudier {f} sur son domaine, et trouver son minimum.
On pose {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}t}{t^{x}(1+t)}}.
Étudier {f} sur son domaine, et trouver son minimum.
Demi-dérivée d’une fonction continue
(Oral X-Cachan)
Si {f \in{\mathcal C}^{0}(\mathbb{R}^{+}}, soit {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)(x)\!=\!\displaystyle\dfrac{1}{\sqrt\pi}\!\!\int_{0}^{x}\!\!\dfrac{f(t)\,\text{d}t}{\sqrt{x-t}}}.
La dérivée de {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)}, notée {\mathcal{D}_{1\text{/}2}(f)} est appelée demi-dérivée de {f}. On étudie cette demi-dérivée pour certaines classes de fonctions f.
Si {f \in{\mathcal C}^{0}(\mathbb{R}^{+}}, soit {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)(x)\!=\!\displaystyle\dfrac{1}{\sqrt\pi}\!\!\int_{0}^{x}\!\!\dfrac{f(t)\,\text{d}t}{\sqrt{x-t}}}.
La dérivée de {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)}, notée {\mathcal{D}_{1\text{/}2}(f)} est appelée demi-dérivée de {f}. On étudie cette demi-dérivée pour certaines classes de fonctions f.
Suite d’intégrales à paramètre
(Oral X-Cachan)
Soit {\varphi\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, continue et bornée. On pose : {\varphi_{n}(x) = \dfrac{n}{\sqrt\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(y)\,\text{e}^{-n^{2}(x-y)^{2}}\,\text{d}y}.
On montre que les {\varphi_{n}} sont {{\mathcal C}^{1}} et CVS vers {\varphi}.
Soit {\varphi\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, continue et bornée. On pose : {\varphi_{n}(x) = \dfrac{n}{\sqrt\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(y)\,\text{e}^{-n^{2}(x-y)^{2}}\,\text{d}y}.
On montre que les {\varphi_{n}} sont {{\mathcal C}^{1}} et CVS vers {\varphi}.
Itérés d’un opérateur à noyau
(Oral X-Cachan)
Soit {K\in {\mathcal C}^{0}([a,b]^{2},\mathbb{C})} avec {K(x,y) = 0} si {x\le y}.
À {u\in{\mathcal C}^{0}([a,b],\mathbb{C})}, on associe {v=T_{K}(u)} définie par : {\forall\, x\in[a,b],\;v(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}K(x,y)\,u(y)\text{d}y}.
On étudie les itérés de T_K.
Soit {K\in {\mathcal C}^{0}([a,b]^{2},\mathbb{C})} avec {K(x,y) = 0} si {x\le y}.
À {u\in{\mathcal C}^{0}([a,b],\mathbb{C})}, on associe {v=T_{K}(u)} définie par : {\forall\, x\in[a,b],\;v(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}K(x,y)\,u(y)\text{d}y}.
On étudie les itérés de T_K.
Une équation fonctionnelle
(Oral Centrale)
On cherche les {f:\mathbb{R}^{+*}\rightarrow \mathbb{R}} telles que : {\displaystyle\lim_{+\infty}f= 0\text{\ et \ }\forall x\gt0,\;f(x\!+\!1)\!+\!f(x)\!=\!\dfrac{1}{x}}On montre l’existence et l’unicité de la solution {f}.
On en donne l’expression sous la forme de la somme d’une série de fonctions.
On cherche les {f:\mathbb{R}^{+*}\rightarrow \mathbb{R}} telles que : {\displaystyle\lim_{+\infty}f= 0\text{\ et \ }\forall x\gt0,\;f(x\!+\!1)\!+\!f(x)\!=\!\dfrac{1}{x}}On montre l’existence et l’unicité de la solution {f}.
On en donne l’expression sous la forme de la somme d’une série de fonctions.
Une intégrale à paramètre
(Oral Centrale)
Soit {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-t^{2}x}}{1+t^{2}}\,\text{d}t\;}.
On étudie son domaine \mathcal{D}, sa dérivabilité, et le comportement aux bornes.
Soit {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-t^{2}x}}{1+t^{2}}\,\text{d}t\;}.
On étudie son domaine \mathcal{D}, sa dérivabilité, et le comportement aux bornes.
Interversion série-intégrale
(Oral Centrale)
Soit {(u_n)} une suite croissante de {\mathbb{R}^{+*}}, divergente.
Montrer que : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl( \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^ne^{-u_nx}\biggr)\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{u_n}.\quad}
Soit {(u_n)} une suite croissante de {\mathbb{R}^{+*}}, divergente.
Montrer que : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl( \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^ne^{-u_nx}\biggr)\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{u_n}.\quad}
Suite d’intégrales et série
(Oral Ccp)
1. Intégrabilité des {f_{n}\,\colon x\to \dfrac{x^{2n+1}\ln(x)}{x^{2}-1}} sur {]0,1[}.
On note {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}f_{n}(x)\,\text{d}x}. Déterminer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}I_{n}}.
2. Montrer que {I_{n}=\displaystyle\dfrac{1}{4}\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}.
En déduire un équivalent de {I_{n}}.
1. Intégrabilité des {f_{n}\,\colon x\to \dfrac{x^{2n+1}\ln(x)}{x^{2}-1}} sur {]0,1[}.
On note {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}f_{n}(x)\,\text{d}x}. Déterminer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}I_{n}}.
2. Montrer que {I_{n}=\displaystyle\dfrac{1}{4}\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}.
En déduire un équivalent de {I_{n}}.
Calcul d’une intégrale
(Oral Ensam)
Existence et calcul de l’intégrale {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x-1}{\ln(x)}\text{d}x}.
Existence et calcul de l’intégrale {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x-1}{\ln(x)}\text{d}x}.
Une intégrale à paramètre
(Oral Ensam)
Étudier {x\mapsto F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\arctan (xt)}{t(1+t^2)}\,\text{d}t}
Étudier {x\mapsto F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\arctan (xt)}{t(1+t^2)}\,\text{d}t}
Intégrale et série de fonctions
(Oral Mines-Ponts)
On pose f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n+x} et g(x)\!=\!\!\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^{x-1}}{t+1}\text{d}t.
Comparer f et g sur {\mathbb{R}^{+*}}.
On pose f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n+x} et g(x)\!=\!\!\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^{x-1}}{t+1}\text{d}t.
Comparer f et g sur {\mathbb{R}^{+*}}.