Itérés d’un opérateur à noyau

(Oral X-Cachan)
Soit {K\!\in\! {\mathcal C}^{0}([a,b]^{2},\mathbb{C})} et {K(x,y)\! =\!0} si {x\!\le\!y}.

Soit {K_{1}=K} puis, sur {[a,b]^{2}}: {K_{n+1}(x,y)=\displaystyle\int_{a}^{b}K(x,t)K_{n}(t,y)\,\text{d}t}

On admet que les {K_{n}} sont dans {\mathcal{C}^{0}([a,b],\mathbb{C})}.

Pour {n\in\mathbb{N}}, soit {T^{n}_{K}} la {n}-ième itérée de {T_{K}}.

  1. Montrer que {K_{n}(x,y) = 0} si {x\le y}.
  2. À {u\in{\mathcal C}^{0}([a,b],\mathbb{C})}, on associe {v=T_{K}(u)} : {\forall\, x\!\in\![a,b],\,v(x)\!=\!\!\displaystyle\int_{a}^{b}\!\!K(x,y)u(y)\text{d}y}Montrer que {T_{K}\in\mathcal{L}({\mathcal C}^{0}([a,b],\mathbb{C}))}.
  3. On note {T_{k}^{n}} l’itérée {n}-ième de {T_{K}}.

    Montrer que {T_{K}^{n}=T_{K_{n}}} (on admettra l’interversion des deux intégrales).

  4. Montrer que, pour {n\ge1} et {(x,y) \in[a,b]^{2}} : {\left|K_{n}(x,y)\right|\le \left\|K\right\|_{\infty}^{n}\dfrac{\left|{x-y}\right|^{n-1}}{(n-1)!}}
  5. Soient {\lambda\in\mathbb{C}^{*}} et {u\in{\mathcal C}^{0}([a,b],\mathbb{C})} fixés.
    Montrer que {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{\lambda^{n}}T_{K}^{n}(u)} CVU sur {[a,b]}.

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