Intégration
Exercices corrigés sur le thème « Intégration »

Intégrale fonction de ses bornes

(Oral Mines-Ponts)
On pose

{f(x)=\displaystyle\displaystyle\int_{x}^{x^{2}}\dfrac{\,\text{d}t}{\ln t}}

.
Montrer que

{f}

est prolongeable par continuité sur

{\mathbb{R}_{+}}

.
Montrer que ce prolongement est

{C^{\infty }}

sur

{\mathbb{R}_{+}^{\ast}}

mais pas sur

{\mathbb{R}_{+}}

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Continuité d’intégrales à paramètre

Deux exercices sur le thème « continuité des intégrales à paramètre ».

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Nature d’intégrales généralisées

Nature des intégrales généralisées :

{I=\displaystyle\int_0^1\left|1-x^\alpha\right|^\beta\,\text{d}x\;\text{et}\;J=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{\text{d}x}{x^\alpha(1+x^\beta)}}

➡️

Une intégrale généralisée

Trois méthodes pour calculer

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\text{e}^{-x}\sin(x)\text{d}x}

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Interversion intégrale/série

(Oral Centrale 2018)
Soit

{\displaystyle\sum a_{n}}

une série convergente.
Soit

{S=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}a_k}

, et

{f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{a_{n}}{n!}x^{n}}

.
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!f(u)e^{-u}du=S}

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Une suite implicite paramétrée

(Oral Centrale 2018)
Soit

{f_{n}(t)=\dfrac{e^{t}}{1+t^{n}}\;\text{et}\;\Phi _{n}(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f_{n}(t)\text{d}t}

Étudier la convergence de

{(f_{n})}

. Montrer :

{\forall\,\alpha >0,\;\exists\,!\;x_{n}(\alpha )\in\mathbb{R}^{+},\;\Phi _{n}(x_{n}(\alpha ))=\alpha}

Étudier

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_{n}(\alpha)}

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Deux suites d’intégrales

(Oral Centrale 2018)
On pose

{I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\cos\Bigl(\dfrac{t}{n}\Bigr)\dfrac{\,\text{d}t}{{t}^{n}+t^{2}+1}}

.
De même, soit

{J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\sin\Bigl(\dfrac{t}{n}\Bigr)\dfrac{n\,\text{d}t}{t^{n}+t^{2}+1}}

.
Déterminer les limites de

{(I_{n})}

{(J_{n})}

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Dérivation d’intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine de

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{t}{t^{2}+x^{2}}\arctan \dfrac{1}{t}\text{d}t}

.
Montrer que

{f}

est

{\mathcal{C}^{1}}

. Calculer

{f'}

puis

{f}

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Calcul d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1-\cos (tx)}{t^{2}(1+t^{2})}\,\text{d}t}

Montrer que

{f}

est

{C^{2}}

sur

{\mathbb{R}}

.
Montrer

{\vphantom{\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}}f(x)=\dfrac{\pi}{2}(e^{-x}+x-1)}

sur

{\mathbb{R}^{+}}

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Équivalent d’une suite d’intégrales

(Oral Mines-Ponts 2018)
Existence de

{I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin (nt)}{1+n^{5}t^{3}}\,\text{d}t}

.
Donner

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_{n}}

et un équivalent simple de

{I_{n}}

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Série entière et intégrale

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!\dfrac{e^{-t}\,\text{d}t}{1-x\sin ^{2}t}}

existe si

{x\lt1}

.
Développer

{f}

en série entière en

{0}

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Intégrale et constante d’Euler

(Oral Mines-Ponts 2018)
On montre que

{I=\displaystyle\int_{0}^{1}\biggl(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{\ln (1-t)}\biggr) \,\text{d}t=\gamma}

(constante d’Euler)

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Existence d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Existence de

{J_{\alpha}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\left(\exp \left(\dfrac{\sin ^{2}t}{t^{\alpha}}\right)-1\right) \,\text{d}t}

➡️

Série entière à coefficient intégrale

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{a_{n}=\displaystyle\int_{n}^{+\infty}\dfrac{\mathrm{th}t}{t^{2}}\,\text{d}t}

. Rayon

{R}

{\displaystyle\sum a_{n}x^{n}}

puis convergence en

{\pm R}

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Intégrale et série numérique

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln (1-t^{2})\ln (t)}{t^{2}}\,\text{d}t=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(2n-1)^{2}}}

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L’intégrale de Dirichlet

(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans cet exercice, on calcule

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\,\text{d}t}

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Intégrale généralisée en deux temps

(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine et continuité de

{f(x)=\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\text{d}t}

.
Convergence et calcul de

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!f(x)\text{d}x}

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Intégrale et constante d’Euler

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{I_n=\displaystyle\int_{0}^{n}\left(1-\dfrac{x}{n}\right) ^{n}\ln(x)\,\text{d}x}

tend vers

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x}\ln (x)\,\text{d}x=-\gamma}

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Polynômes orthogonaux

(Oral Centrale)
On étudie une famille de polynômes orthogonaux pour

{(f\mid g)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(t)\varphi(t)\,\text{d}t}

On montre qu’ils sont scindés simples sur

{\mathbb{R}}

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Calcul d’une intégrale généralisée

(Oral Mines-Ponts 2018)
Existence et calcul de

{I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}x}{\,\text{sh} (\sqrt{x})}}

➡️

Une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Calculer

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1-t}{\ln (t)}t^{x}\,\text{d}t}

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DSE d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Préciser le domaine de

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{t\,\text{d}t}{x+e^{t}}}

.
Montrer que

{f}

est développable en série entière

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Étude d’une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine, continuité, dérivabilité de

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{n(1+nx^{2})}}

.
Donner un équivalent de

{f}

{0}

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Étude de int(arctan(x tan(t)), t=0..π/2)

(Oral Centrale Mp)
Étude de l’intégrale à paramètre

{f(x)=\displaystyle{\int_0^{\pi/2}\!\!\!\arctan(x \tan (t))\,\text{d}t}}

➡️

Intégrabilité de 1/(1+e^t |sin t|) sur ℝ⁺

(Oral Centrale Mp)
Intégrabilité de

{\dfrac{1}{1+\text{e}^t|\sin t|}}

sur

{\mathbb{R}^+}

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J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (3/3)

(Oral Centrale Mp)
Étude de

{J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta}

(3/3)

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J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (2/3)

(Oral Centrale Mp)

{J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta}

(2/3)

➡️

J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (1/3)

(Oral Centrale Mp)
Étude de

{J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta}

(1/3)

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Longueur approchée d’une ellipse

(Oral Centrale)
Approximation de l’intégrale donnant la longueur d’une ellipse.

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Une intégrale qui résiste

(Oral Centrale)
Calcul de l’intégrale

{J=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln^2(1-x)}{x}\,\text{d}x}

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Approximants de Padé de exp(x)

(Oral Centrale Mp)
Approximants de Padé de exp(x)

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Une série numérique à paramètre

(Oral Centrale)
Étude de

{S(p)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n+p}}

, où

{u_{n}=\dfrac{1}{4^n}\dbinom{2n}{n}}

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Intégrales fonctions de leurs bornes

Exercices sur le thème « Intégrales fonctions de leurs bornes »

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Intégration sur un segment (2/2)

Exercices sur le thème « intégration sur un segment » (2/2)

➡️

Intégration sur un segment (1/2)

Exercices sur le thème « intégration sur un segment » (1/2)

➡️

Sommes de Riemann (3/3)

Exercices sur le thème « Sommes de Riemann » (3/3)

➡️

Sommes de Riemann (2/3)

Exercices sur le thème « Sommes de Riemann » (2/3)

➡️

Sommes de Riemann (1/3)

Exercices sur le thème « Sommes de Riemann » (1/3)

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Intégration par astuce

Exercices sur le thème « intégration par astuce ».

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Intégration par parties

Exercices sur le thème « intégration par parties sur un segment ».

➡️

Intégration par changement de variable

Exercices sur le thème « intégration (sur un segment) et changement de variable ».

➡️

Intégration de fonctions périodiques

Exercices sur le thème « intégration de fonctions périodiques »

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Équivalents d’intégrales

Équivalents en

{+\infty}

{J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{\cos(t)}{1+n^{2}t^{2}}\text{d}t}

{K_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{\text{e}^{-nt}}{1+t^{2}}\text{d}t}

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Théorème de convergence dominée

Six exercices d’application du théorème de convergence dominée.

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La fonction Gamma d’Euler

On introduit la fonction

{\Gamma(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{x-1}\text{e}^{-t}\,\text{d}t}

.
On étudie ses propriétés (relation fonctionnelle, caractère

\mathcal{C}^{\infty}).

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Petites intégrales généralisées (2/2)

Cinq calculs d’intégrales généralisées (2/2).

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Petites intégrales généralisées (1/2)

Cinq calculs d’intégrales généralisées (1/2).

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Intégrale et sommes de Riemann

On pose

{I(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-2x\cos(t)+x^{2})\,\text{d}t}

On calcule

{I(x)}

à l’aide de sommes de Riemann.

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Intégrales de Wallis et Futuna

On étudie les intégrales

{F_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{\text{d}t}{\,\text{ch}^{n}(t)}}

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Minimum d’une intégrale

Calculer le minimum de

{I_{a,b}=\displaystyle\int_{0}^{1}(t\ln(t)-at-b)^2\,\text{d}t}

, et pour quels

{a,b}

➡️