(Oral Centrale Mp)
On pose {J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \theta)\,\text{d}\theta}, où {x} est une variable réelle.
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Préciser le domaine de définition de {J}.
Montrer que la fonction {J} est paire.
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Calculer {K=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\ln(\sin\theta)\,\text{d}\theta}
- En déduire {J(1)}.
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Pour {n\in\mathbb{N}}, on pose {W_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos^{n}\theta\,\text{d}\theta}.
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Calculer {W_{n}} pour tout {n} de {\mathbb{N}}.
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Calculer {J'(x)} sous la forme de la somme d’une série entière.
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Comparer le développement en série de {J'(x)} avec celui de {\sqrt{1-x^{2}}}.
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En déduire l’expression de {J(x)} sur son domaine de définition.
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