J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (1/3)

(Oral Centrale Mp)
On pose {J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \theta)\,\text{d}\theta}, où {x} est une variable réelle.

    • Préciser le domaine de définition de {J}.
      Montrer que la fonction {J} est paire.
    • Calculer {K=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\ln(\sin\theta)\,\text{d}\theta}
    • En déduire {J(1)}.
  1. Pour {n\in\mathbb{N}}, on pose {W_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos^{n}\theta\,\text{d}\theta}.

    • Calculer {W_{n}} pour tout {n} de {\mathbb{N}}.
    • Calculer {J'(x)} sous la forme de la somme d’une série entière.
    • Comparer le développement en série de {J'(x)} avec celui de {\sqrt{1-x^{2}}}.
    • En déduire l’expression de {J(x)} sur son domaine de définition.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écrans, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).