Intégration par parties

Exercices corrigés

Exercice 1.
Calculer l’intégrale

{I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x\ln x}{(x^2+1)^2}\text{d}x}

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Exercice 2.
Calculer

{I_{\lambda,n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!x^\lambda\ln^nx\,\text{d}x}

{(\lambda>0,n\in\mathbb{N})}

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Exercice 3.
Calculer

{I_n=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2n}x\,\text{d}x}

{J_n=\displaystyle\int_{0}^{\pi} x\sin^{2n}x\,\text{d}x}

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Exercice 4.
Soit

{I_n^m=\displaystyle\int_{0}^{1} x^m(1-x)^n\,\text{d}x}

{(m,n)\in\mathbb{N^2})}

Trouver une relation entre ${I_n^m}$ et ${I_{n-1}^{m+1}}$ .
En déduire ${I_n^m}$ .
Calculer ${J_n^m=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2m+1}x\,\cos^{2n+1}x\,\text{d}x}$
(indication : poser ${x=\arcsin\sqrt t}$ )
En déduire ${K_n=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2n+1}x\,\text{d}x}$ .