| Exercice 1. (Définition de la fonction Gamma)
Domaine de {\Gamma(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{x-1}\text{e}^{-t}\,\text{d}t}.
Montrer que : {\forall\, x>0,\;\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)}.
Préciser {\Gamma(n+1)} pour n\in\mathbb{N}.
Montrer que {\Gamma\Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr)=\sqrt{\pi}}. |
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
☞
Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc.
Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une
souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Exercice 2. (Continuité de la fonction {\Gamma})
Montrer que {\Gamma} est continue sur {\mathbb{R}^{+*}}. |
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
☞
Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc.
Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une
souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Exercice 3. (la fonction \Gamma est {\mathcal{C}^{1}})
Montrer que {\Gamma} est {\mathcal{C}^{1}} sur {\mathbb{R}^{+*}}. |
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
☞
Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc.
Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une
souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Exercice 4. (la fonction \Gamma est {\mathcal{C}^{\infty}})
Montrer que {\Gamma} est {\mathcal{C}^{\infty}} sur {\mathbb{R}^{+*}}.
Montrer que, pour {p\in\mathbb{N}} et {x\gt0} :{\Gamma^{(p)}(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\ln^{p}(t)\,t^{x-1}\,\text{e}^{-t}\,\text{d}t} |
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
☞
Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc.
Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une
souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).