| Exercice 1. (Définition de la fonction Gamma)
Domaine de {\Gamma(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{x-1}\text{e}^{-t}\,\text{d}t}. Montrer que : {\forall\, x>0,\;\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)}. Préciser {\Gamma(n+1)} pour n\in\mathbb{N}. Montrer que {\Gamma\Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr)=\sqrt{\pi}}. |
| Exercice 2. (Continuité de la fonction {\Gamma}) Montrer que {\Gamma} est continue sur {\mathbb{R}^{+*}}. |
| Exercice 3. (la fonction \Gamma est {\mathcal{C}^{1}}) Montrer que {\Gamma} est {\mathcal{C}^{1}} sur {\mathbb{R}^{+*}}. |
| Exercice 4. (la fonction \Gamma est {\mathcal{C}^{\infty}}) Montrer que {\Gamma} est {\mathcal{C}^{\infty}} sur {\mathbb{R}^{+*}}. Montrer que, pour {p\in\mathbb{N}} et {x\gt0} :{\Gamma^{(p)}(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\ln^{p}(t)\,t^{x-1}\,\text{e}^{-t}\,\text{d}t} |