Calcul d’une intégrale à paramètre

Exercice 1.
On pose {g(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\text{e}^{-t^{2}}\cos(xt)\,\text{d}t\;}.
Montrer que {g} est définie et continue sur {\mathbb{R}}.
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Exercice 2.
On admet que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\text{e}^{-t^{2}}\,\text{d}t=\dfrac{\sqrt\pi}{2}}.

Montrer l’égalité :{g(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\text{e}^{-t^{2}}\cos(xt)\,\text{d}t=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\,\text{e}^{-x^{2}/4}}

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