Intégrale de Lejeune-Dirichlet

On pose {g(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\text{e}^{-xt}\dfrac{1-\cos(t)}{t^{2}}\,\text{d}t}.

Monrer que {g} est {\mathcal{C}^{2}} sur {\mathbb{R}^{+*}}, et calculer {g”(x)}.

Préciser les limites de {g} et {g’} en {+\infty}, puis calculer {g(x)} pour {x>0}.

Montrer que {g} est continue en {0}.

Calculer {g(0)}. En déduire {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(t)}{t}\,\text{d}t=\dfrac{\pi}{2}}.

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