QCM (applications linéaires)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 19 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Applications linéaires ».
Mp/Pc/Psi
QCM (espaces euclidiens)
Un questionnaire sur le thème « Espaces euclidiens ». Pour chacune des 17 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte.
QCM (orthogonalité)
Un questionnaire sur le thème « Orthogonalité ». Pour chacune des 19 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte.
QCM (déterminants)
Un questionnaire sur le thème « Déterminants ». Pour chacune des 21 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte.
QCM (dérivation)
Un questionnaire sur le thème « Dérivation ». Pour chacune des 19 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte.
QCM (analyse asymptotique)
Un questionnaire sur le thème « Analyse asymptotique ». Pour chacune des 17 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte.
Contrôle (équations différentielles)
Un contrôle sur les équations différentielles linéaires d’ordre 1 ou 2. On demande l’expression de la solution générale et l’intervalle de résolution.
Développement d’intégrale à paramètre
(Oral Centrale) On étudie {F(t)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{f(x)}{1+tf(x)}\text{d}x}, où {f} est continue positive intégrable sur {\mathbb{R}^+}.
Théorème de Rouché pour les polynômes
(Oral Centrale) On montre que si {P} et {Q} sont deux polynômes tels que {|z|=r \Rightarrow |P(z)−Q(z)|\lt|Q(z)|}, alors ils ont le même nombre de racines dans {D(0,r)}.
Suite d’intégrales trigonométriques
(Orale Centrale) On calcule les intégrales {J_n(y)=\displaystyle\int_0^\pi\dfrac{\cos nx-\cos ny}{\cos x-\cos y}\text{d}x}
Majoration optimale d’une intégrale
(Oral Centrale) On majore la valeur absolue de l’intégrale de {f} sur {[0,1}, où {f} décrit l’espace des fonctions de classe {\mathcal{C}^2} sur {[0,1]} et telles que {f(0)=f(1)=f'(1)=0}.
Intégrale de exp(-x^4)cos(xt)
(Oral Centrale) On étudie l’intégrale à paramètre {f(t)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\!\!\!\text{e}^{-x^4}\cos(xt)\,\text{d}x}
Intégrale de arctan(x tan(t))
(Oral Centrale) On étudie l’intégrale à paramètre {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\!\!\!\arctan(x \tan(t))\text{d}t}.
Un problème d’extrema liés
(Oral Centrale) On s’intéresse au maximum d’une fonction {f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}} polynomiale homogène en les coordonnées {x_i}, sur un certain polygone de {\mathbb{R}^n}.
Équation différentielle du 2nd ordre
(Oral Centrale) Soit {q :\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{-*}} continue strictement négative. On s’intéresse aux solutions sur {\mathbb{R}^{+}} de l’équation différentielle {\left( \mathcal{E}_{q}\right) :y''+q(x)y=0}.
Développement asymptotique et EQD
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on montre que toute solution de l’équation différentielle {y'=1/(1+x^2+y^2)} a un développement asymptotique à tout ordre en {1/x} en {+\infty}
Équation fonctionnelle et série entière
(Oral Centrale) On considère l’unique fonction {\mathcal{C}^\infty} vérifiant {y^3(x)+y(x)+x=0}. On vérifie que {y(x)} satisfait à une équation différentielle linéaire d’ordre 2, et on en déduit que {y(x)} est développable en série entière.
Séries entières et sommes harmoniques
(Oral centrale) On étudie une méthode de calcul de la somme de la série entière {\sum P(n)H_nx^n}, où {P} est un polynôme et où {H_n} est le {n}-ième nombre harmonique.
Sommes harmoniques et nombre d’Apery
(Oral Centrale) On définit un certain nombre de séries numériques dans lesquelles apparaissent les sommes harmoniques {H_n}. Par des manipulations algébriques, on exprime {\zeta(3)} (la constante d’Apery) comme la somme d’une telle série.
Séries entières à coefficients 0 ou 1
Oral Centrale) On s’intéresse aux séries entières dont les coefficients valent 0 ou 1 et à l’ensemble des complexes z qui annulent une telle série entière.