Nouveautés Novembre 2021

Le site Mathprepa continue à se développer. Vous trouverez sur cette page les documents que j’ai ajoutés depuis la fin du mois d’octobre 2021.

---

J’ai ajouté le 31 octobre un florilège de cinquante exercices variés, où l’accent est mis sur l’analyse réelle et complexe, ainsi que sur le raisonnement par récurrence.

• 6 exercices de bon niveau sur les réels (partie 1)
• 6 exercices de bon niveau sur les réels (partie 2)
• 5 exercices de bon niveau sur les réels (partie 3)
• 6 récurrences de bon niveau (partie 1)
• 6 récurrences de bon niveau (partie 2)
• 6 récurrences de bon niveau (partie 3)
• Florilège de 5 exercices (partie 1)
• Florilège de 5 exercices (partie 2)
• 6 exercices de bon niveau sur les complexes

---

J’ai ajouté le 1er Novembre 2021 trois problèmes de logique (tout à fait conseillés aux élèves des classes terminales ou au début de la première année de prépa, et plus généralement utiles pour s’entraîner au raisonnement logique, dans un cadre un peu distrayant).

• Véridiques, menteurs et changeants
• Naufragé sur la planète Jolik
• Pélerinage sur la planète Zarbi

---

J’ai ajouté le 2 Novembre trois pages d’exercices d’analyse. Je recommande vivement car c’est au coeur du programme de première année. Les exercices de trigonométrie sont quand même assez « chauds ».

• 6 exercices de trigonométrie de haut vol
• 4 exercices où on démontre de belles inégalités
• 7 exercices où on voit Cauchy-Schwarz en action

---

J’ai ajouté entre le 3 et le 7 Novembre trois problèmes d’analyse, extraits d’un sujet déjà présent sur le site mais sous forme de fichier pdf. Cette conversion en un format interactif et directement consultable à l’écran (notamment sur un smartphone) est la direction dans laquelle je vais me tourner maintenant (le pdf, c’est dépassé).

• L’inégalité arithmético-géométrique
• Quatre preuves de l’inégalité de Cauchy-Schwarz
• Les inégalités de Holder et de Minkowski

---

Depuis début novembre, j’ai converti en format interactif un certain nombre de sujets. Il y a plusieurs avantages : d’une part les réponses (masquées au départ, mais qu’on peut dévoiler) suivent immédiatement les questions correspondantes (ce n’est pas le cas avec le format pdf où l’énoncé du sujet et son corrigé sont sur deux fichiers distincts). D’autre part, la lecture est parfaite sur toutes les tailles d’écran (ordinateur, tablette, smartphone). Cela permet une appropriation beaucoup plus confortable, active et efficace du sujet.

Voici une liste non exhaustive des sujets que j’ai convertis.

• Un peu de logiqueCe sujet est constitué de deux exercices, et il prend place en tout début d'année, au moment où on aborde les questions de rédaction et de logique.
  Le premier exercice est une bonne (et amusante) introduction à l'utilisation des quantificateurs en logique propositionnelle.
  Le second exercice traite de la simplification de propositions logiques. (html)
• Entiers, dénombrementsCe problème est constitué de trois sujets, centrés sur le raisonnement par récurrence ou des questions de dénombrements.
  Exercice 1 : On étudie les propriétés caractéristiques de certaines sommes d'entiers.
  Exercice 2 : On résout l'équation fonctionnelle f(m²+n²)=f(m)²+f(n)².
  Exercice 3 : On s'intéresse à un problème de dénombrement (de combien de façons peut-on inscrire des carrés dans un damier). (sujet 1) (sujet 2) (sujet 3)
• Récurrences et PythonCe problèmet est constitué de trois sujets indépendants.
  Sujet 1 : On calcule le nombre de déplacements possibles d'un pion entre deux points du plan.
  Sujet 2 : Un bel exemple de récurrence forte. On s'intéresse à une suite définie par récurrence, et on utilise le langage Python pour expérimenter la situation.
  Sujet 3 : Là aussi, c'est un exemple (amusant) où Python permet d'expérimenter la situation. (sujet 1) (sujet 2) (sujet 3)
• Raisonnements par l’absurdeCe sujet est constitué de dix exercices, tous consacrés à l'utilisation du raisonnement par l'absurde.
  Ces exercices sont variés mais tous de bon niveau, et ils mettront votre sagacité à l'épreuve. (partie 1) (partie 2)
• Sous-ensembles normauxUn problème assez théorique mais formateur sur les applications entre finis et les propriétés des cardinaux. (sujet)
• Déplacements dans ℤxℕCe problème étudie les déplacements d'un robot, partant de l'origine, et qui effectue des déplacements d'une unité dans une direction quelconque.
  L'objet du problème est de calculer le nombre de trajectoires formées de n déplacements et qui se maintiennent dans le demi-plan y≥O.
  Pour répondre à cette question, on expose deux méthodes distinctes. (partie 1) (partie 2)
• Surjections entre ensembles finisCe sujet porte sur le calcul du nombre de surjections entre deux ensembles finis de cardinaux respectifs n et p.
  C'est un problème classique, avec des calculs sur les dénombrements, les coefficients binomiaux, les techniques usuelles de sommations, et le raisonnement par récurrence. (sujet)
• Partitions d’un ensemble finiCe sujet porte sur le calcul du nombre de partitions d’un ensemble fini.
  On relie ce nombre à celui des surjections entre deux ensembles finis.
  On étudie le nombre de partitions en paires, et on en déduit le nombre d'involutions d'un ensemble fini. (sujet)
• Parties infinies de ℕCe problème est consacré à la question de la dénombrabilité.
  On montre que toutes les parties infinies de l'ensemble ℕ des entiers naturels sont en bijection avec ℕ.
  Dans une deuxième partie, on étudie des questions classiques relatives aux ensembles infinis dénombrables. (sujet)
• Dérangements d’ensembles finisCe problème porte sur le calcul du nombre Dn de bijections d'un ensemble fini E de cardinal n et qui sont sans point fixe.
  On trouve une relation sur le suite Dn et on en déduit un expression de Dn sous forme de somme.
  Une autre méthode permet de retrouver ce résultat.
  On termine par une application à une question classique de probabilité. (sujet)
• Lancers de dés chanceuxOn lance n fois un dé honnête. Cette n-partie est dit q-chanceuse si on n'a jamais obtenu q résultats successifs identiques.
  Ce problème étudie la probabilité qu'une n-partie soit q-chanceuse.
  On traite les cas particuliers q=2 et q=3, puis on généralise.
  Ce problème est divisé en quatre parties.
  Voila un bon sujet au croisement de l'analyse, des dénombrements, des suites et des probabilités.  (I)   (II)   (III)   (IV) 
• Points d’équilibre dans le planOn imagine un système fini de points fixés dans le plan. Chacun d'eux exerce une force d'attraction. Ce problème de géométrie étudie les points du plan qui restent en équilibre dans ce système de forces. (sujet)
• Le dernier chiffre non nul de n!Un très joli sujet d'arithmétique des entiers.
  On étudie quel est, en fonction de l'entier n, le dernier chiffre non nul dans l'écriture de n!.
  On termine par une programmation du résultat avec le langage Python. (html)
• etc. etc. etc.

---

Entre mi-novembre et mi-décembre 2021, j’ai converti en format interactif la plus grande partie (près d’une centaine) des sujets d’oral de Centrale Mp (ceux qui se trouvent sur cette page). Là encore, avec l’immédiateté et la qualité de l’affichage, je trouve que les sujets « reprennent vie ». Comme pour tous les autres articles, j’ai mis un soin tout particulier à ce que les contenus s’adaptent parfaitement à toutes les tailles d’écran.

Voici un échantillon des sujets qui ont été convertis:

• Zéros réels d’un polynôme de Maclaurin
• Autour des polynômes de Bernoulli
• Égalités de coefficients binomiaux
• Identité matricielle AXB = BXA
• Produit scalaire et dérivées partielles
• Une preuve de Cayley-Hamilton
• Itération matricielle et approximation
• Approximations du nombre π
• Suites récurrentes et produit de Cauchy
• Série entière et matrice circulante
• Équation fonctionnelle et série entière
• Suite d’intégrales trigonométriques
• etc. etc. etc.