Mp/Pc/Psi
Exercices corrigés pour les classes de Math Spé Mp Pc Psi, posés aux concours : Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.

Groupes d’endomorphismes de même rang

(Oral Centrale). On considère un sous-groupe quelconque de

{\mathcal{L}(E)}

, où

{E}

est un

{\mathbb{K}}

-espace de dimension finie. On vérifie que ses éléments ont le même rang. On étudie le cas particulier du groupe des permutations des vecteurs d’une base de

{E}

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Un groupe de matrices non inversibles

(Oral Centrale). On définit un sous-ensemble

{G}

de l’ensemble des matrices carrées d’ordre 3. On vérifie que

{G}

est un groupe pour le produit des matrices, mais que les matrices de

{G}

ne sont pas inversibles (au sens habituel) pour le produit.

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Algorithme de Babylone matriciel

Oral Centrale) À partir d’une matrice carrée, on étudie la suite des itérées par la transformation

{A\to(A+A^{-1})/2}

(généralisation matricielle de l’algorithme de Babylone)

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Inégalités à la Tchebychev

(Oral Centrale) Dans cet exercice d’arithmétique, on établit un encadrement du nombre d’entiers premiers inférieurs ou égaux à un entier n donné.

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Égalités de coefficients binomiaux

(Oral Centrale) Dans cet exercice d’arithmétique, on résout certains cas de répétitions de coefficients binomiaux dans le triangle de Pascal.

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Suite de Fibonacci modulo 41

(Oral Centrale) Dans cet exercice d’arithmétique, on montre entre autres choses que, modulo 41, la suite de Fibonacci est périodique de période 40.

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Facteurs premiers des aⁿ-1

(Oral Centrale) On montre que si

{a-1}

{a^n-1}

ont les mêmes facteurs premiers, alors

{n=2}

{a}

est un nombre de Mersenne (et la réciproque est vraie).

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Autour des polynômes de Bernoulli

(Oral Centrale) On définit la suite des polynômes de Bernoulli par itération d’un endomorphisme continu de

{\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})}

muni de la norme infinie.

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Relations entre sommes harmoniques

(Oral Centrale). On établit des relations entre des

{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{P(k)}{k}}

, où

{P}

est un polynôme.

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Suite récurrente et arithmétique

(Oral Centrale). On relie une suite récurrente d’ordre 5 à la trace des puissances d’une matrice. On en déduit une propriété arithmétique de cette suite.

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Irréductibilité des polynômes de Tchebychev

(Oral Centrale). Dans cet exercice, on étudie les propriétés d’irréductibilité dans

{\mathbb{Z}[X]}

des polynômes de Tchebychev.

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Zéros d’un polynôme de Maclaurin

(Orale Centrale). On étudie les premières racines réelles strictement positives du polynôme de Maclaurin de la fonction sinus.

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Racines de dérivées n-ièmes

(Oral Centrale) On étudie les racines des dérivées

{n}

-ièmes des fonctions définies par

{f(x)=exp(1/(1-x^2))}

{g(x)=exp(1/(1+x^2))}

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Racines d’une suite de polynômes

(Oral Centrale) On étudie les propriétés des racines de

{P_{n}(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(nX)^{k}}{k!}}

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Unitaires de ℤ[X] à racines dans D(0,1)

(Oral Centrale) On étudie l’ensemble des polynômes unitaires de

{\mathbb{Z}[X]}

, à racines dans le disque unité. Parmi eux, les polynômes cyclotomiques.

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Produit scalaire et dérivées partielles

(Oral Centrale). Avec une méthode basée sur des dérivées partielles de fonctions génératrices, on étudie un produit scalaire discret sur

{\mathbb{R}_n[X]}

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Polynômes affinement équivalents

(Oral Centrale). Deux polynômes sont dits affinement équivalents si on passe de l’un à l’autre par un isomorphisme affine. On étudie cette relation sur ℝ[X].

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