Mp/Pc/Psi
Exercices corrigés pour les classes de Math Spé Mp Pc Psi, posés aux concours : Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.

(Oral X-Cachan Psi)
On s’intéresse à la transmission d’un bit de donnée à travers une succession de convertisseurs indépendants. On observe la limite de la probabilité que le bit initial soit correctement transmis après

n

conversions.

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Un système différentiel matriciel

(Oral X-Cachan Psi)
Soit

{A_{0}\in\mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})}

symétrique, et

{B\in\mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})}

antisymétrique.
Soit l’équation

{(E)}

{A'(t) = A(t)B - BA(t)}

où

{A(t)\in \mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})}

{A(0) = A_{0}}

.
On va montrer que la matrice

{A(t)}

reste semblable à

{A_0}

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Endomorphisme et polynômes

(Oral X-Cachan Psi)
Soient

{A,B}

dans

{\mathbb{C}[X]}

, avec

{A\ne0}

, avec

{\deg(B)= n+ 1}

. En fonction des racines de

A

, ou

B

, on étudie l’injectivité ou la diagonalisabilité de l’endomorphisme

{\varphi}

{\mathbb{C}_{n}[X]}

qui à

P

associe le reste dans la division de

{AP}

par

{B}

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Matrices par blocs

(Oral X-Cachan Psi)
Pour toute matrice

{P}

{{\mathcal M}_{p}(\mathbb{K})}

, on montre qu’il existe une matrice diagonale

{J}

, avec des coefficients

{\pm1}

sur sa diagonale, telle que

{\det (P+J)\ne 0}

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Le collectionneur, épisode 3

Pour les notations, on se reportera à l’épisode 1.
On détermine ici la fonction de répartition du temps d’attente

X

de la collection complète de figurines, ce qui permet de trouver la loi de

X

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Le collectionneur, épisode 2

Pour les notations, on se reportera à l’épisode 1.
On voit ici une autre méthode (basée sur « Analysis on first step » et la résolution d’une récurrence) pour retrouver l’espérance mathématique du temps d’attente de la collection complète de figurines.

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Le collectionneur, épisode 1

Pour doper ses ventes, une marque de chocolat cache dans chaque tablette (et de façon équiprobable) l’une des

N

figurines d’une collection. On considère ici l’expérience (aléatoire!) vécue par un client cherchant compulsivement à compléter sa collection.
On note

{X}

le nombre de tablettes à acheter pour compléter l’album. Dans cet épisode, on calcule la loi de

X

, son espérance, sa variance.

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L’urne d’Ehrenfest, épisode 5

Pour les notations, revoir l’épisode 1, l’épisode 2, l’épisode 3, et l’épisode 4.
On s’intéresse ici à l’espérance du temps de retour de l’urne dans sa composition initiale. On illustre ensuite les résultats avec Python.

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L’urne d’Ehrenfest, épisode 4

Pour les notations, revoir l’épisode 1, l’épisode 2, et l’épisode 3. Dans cet épisode, on étudie les puissances successives de la matrice de transition, et on illustre les résultats avec Python.

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L’urne d’Ehrenfest, épisode 3

Pour les notations, revoir l’épisode 1 et l’épisode 2.
Dans cet épisode, on diagonalise la matrice de transition de la chaîne de Markov. On en déduit que la seule distribution invariante est binomiale. On illustre avec Python les variations éventuelles des lois

X_n

, quand on part de la loi initiale de

X_0

(qui pourra être constante, uniforme, binomiale, etc.)

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L’urne d’Ehrenfest, épisode 2

On reprend les notations et résultats de l’épisode 1.
On forme ici la matrice de transition associée à ce processus de Markov, et on l’interprète comme celle d’un endomorphisme

\varphi

{\mathbb{R}_{N}[X]}

dans la base canonique.
Si

{t\mapsto G_{n}(t)}

est la fonction génératrice de

{X_{n}}

, on voit que

{G_{n+1}=\varphi(G_{n})}

.
On retrouve alors la relation

{\text{E}(X_{n+1})=1+\Bigl(1-\dfrac{2}{N}\Bigr)\text{E}(X_{n})}

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L’urne d’Ehrenfest, épisode 1

Une urne contient

{N}

boules indiscernables au toucher, de couleur bleue ou rouge.
On répète la « manipulation » suivante : « tirer une boule au hasard de l’urne et la remplacer par une boule de la couleur opposée »
On note

{X_{n}}

le nombre de boules bleues après la

{n}

-ième manipulation. Dans cette partie, on calcule

{\text{E}(X_{n})}

et sa limite quand

{n\rightarrow+\infty}

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Une équation fonctionnelle

(Oral Centrale)
On cherche les

{f:\mathbb{R}^{+*}\rightarrow \mathbb{R}}

telles que :

{\displaystyle\lim_{+\infty}f= 0\text{\ et \ }\forall x\gt0,\;f(x\!+\!1)\!+\!f(x)\!=\!\dfrac{1}{x}}

On montre l’existence et l’unicité de la solution

{f}

.
On en donne l’expression sous la forme de la somme d’une série de fonctions.

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Une intégrale à paramètre

(Oral Centrale)
Soit

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-t^{2}x}}{1+t^{2}}\,\text{d}t\;}

.
On étudie son domaine

\mathcal{D}

, sa dérivabilité, et le comportement aux bornes.

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Pavage par des dominos

On s’intéresse au nombre

u_n

de façons de remplir un rectangle

4\times n

par des dominos (horizontaux ou verticaux). On trouve une relation de récurrence vérifiée par les

{u_{n}}

. On écrit une fonction Python calculant

{u_n}

. On donne une expression des

u_n

et on étudie leur série génératrice.

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Matrices bistochastiques, épisode 9

Soit

{B_{n}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

la matrice de terme général

{(b_{i,j})_{1\le i,j\le n}}

définie par:

{\begin{cases}b_{i,i+1}=b_{i+1,i}=\dfrac{1}{2}\text{\ si }1\le i\lt n\\b_{1,1}=b_{n,n}=\dfrac{1}{2},\text{\ et\ }b_{i,j}=0\text{\ dans les autres cas}\end{cases}}

On diagonalise

B_n

, on étudie la limite de ses puissances, et on illustre les résultats avec l’aide du langage Python.

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Matrices bistochastiques, épisode 8

Pour les notations et les résultats précédents : Ep1, Ep2, Ep3, Ep4, Ep5, Ep6, Ep7.
On étudie un algorithme de décomposition d’une matrice

\mu

-magique sous la forme d’un barycentre de matrices de permutation, et on illustre cet algorithme à l’aide du langage Python.

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