Série génératrice d’une récurrence linéaire
(Oral Centrale) On étudie la série entière génératrice d’une récurrence linéaire d’ordre 3. Par plusieurs points de vue, on résout cette récurrence.
Polynômes annulateurs
Une algèbre de matrices 3×3
(Oral Centrale) On considère un ensemble {E} de matrices carrées d’ordre 3, dépendant de deux paramètres. On montre que {E} est une sous-algèbre de {\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}. On étudie les puissances et la diagonalisabilité des éléments de {E}.
Sous-algèbre sans nilpotents
(Oral Centrale) Soit {\mathcal{A}} une sous-algèbre commutative de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}), contenant In et sans nilpotent. Alors {\dim(\mathcal{A})\le n} et les éléments de {\mathcal{A}} sont diagonalisables.
Réduction de matrices par blocs
(Oral Centrale) Si {M} est une matrice carrée, on forme la matrice par blocs {N=\begin{pmatrix}M&M^2\\0&M\end{pmatrix}}. On étudie la diagonalisabilité de {N}, et son polynôme minimal.
Équation au crochet de Lie
(Oral Centrale) On définit le crochet de Lie dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} par {[A,B]=AB-BA}. On détermine les matrices {A} telles qu’on ait toujours {[A,[A,[A,T]] = [A,T]}.
Diagonalisation d’une matrice en Z
(Oral Centrale)
Soit {Z_n\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, définie par :{\begin{cases}z_{ij}=1\text{\ si\ }(i\!=\!1\;\text{ou}\;i\!=\!n\;\text{ou}\;i\!+\!j=n\!+\!1)\\0\text{\ sinon}\end{cases}}Prouver que {Z_n} est diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}
Procéder à la diagonalisation efffective de {Z_n}.
Donner l’exemple de {n=5} et {n=6}.
Soit {Z_n\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, définie par :{\begin{cases}z_{ij}=1\text{\ si\ }(i\!=\!1\;\text{ou}\;i\!=\!n\;\text{ou}\;i\!+\!j=n\!+\!1)\\0\text{\ sinon}\end{cases}}Prouver que {Z_n} est diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}
Procéder à la diagonalisation efffective de {Z_n}.
Donner l’exemple de {n=5} et {n=6}.
Polynôme annulateur et trace
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que :{A^{4}+A^{3}+A^{2}+A+I_{n}=0}On suppose {\text{tr}(A)\in\mathbb{Q}}. Montrer que {4\mid n}.
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que :{A^{4}+A^{3}+A^{2}+A+I_{n}=0}On suppose {\text{tr}(A)\in\mathbb{Q}}. Montrer que {4\mid n}.
Ordre d’une matrice entière de taille 2
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}, d’ordre fini {k\ge1}:{A^{k}=I_n\;\text{et}\;\forall\,j\in[1,k[,\;A^{j}\neq I_n}Que dire de {A}, en termes de réduction ?
Préciser les ordres possibles de {A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{Z})}.
Soit {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}, d’ordre fini {k\ge1}:{A^{k}=I_n\;\text{et}\;\forall\,j\in[1,k[,\;A^{j}\neq I_n}Que dire de {A}, en termes de réduction ?
Préciser les ordres possibles de {A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{Z})}.
Conditions de diagonalisabilité (ou pas)
(Oral CCInp)
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})}, avec {n\ge2}.
On suppose {f^{4}= f^{2}}, et {(\star)\;\{-1,1\}\subset\text{Sp}(f)}.
L’endomorphisme {f} est-il nécessairement diagonalisable?
Et en remplaçant {(\star)} par {\text{Ker}\,f=\text{Ker}\,f^{2}}?
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})}, avec {n\ge2}.
On suppose {f^{4}= f^{2}}, et {(\star)\;\{-1,1\}\subset\text{Sp}(f)}.
L’endomorphisme {f} est-il nécessairement diagonalisable?
Et en remplaçant {(\star)} par {\text{Ker}\,f=\text{Ker}\,f^{2}}?
Endomorphisme vérifiant u^3=u
(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension finie.
Soit {u\in{\mathcal L}(E)} tel que {u^{3}=u}.
Montrer que {u^{2}} est un projecteur.
Que dire si {\text{tr}(u)=\text{rg}(u)}?
Soit {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension finie.
Soit {u\in{\mathcal L}(E)} tel que {u^{3}=u}.
Montrer que {u^{2}} est un projecteur.
Que dire si {\text{tr}(u)=\text{rg}(u)}?
Cayley-Hamilton et matrice compagnon
(Oral Centrale)
Dans cet exercice, on observe directement que la matrice-compagnon d’un polynôme P est annulée par P (c’est un cas particulier du théorème de Cayley-Hamilton).
Dans cet exercice, on observe directement que la matrice-compagnon d’un polynôme P est annulée par P (c’est un cas particulier du théorème de Cayley-Hamilton).
P(A) diagonalisable, P'(A) inversible
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} . On suppose qu’il existe {P\in \mathbb{C}[X]} tel que {P(A)} soit diagonalisable et {P^{\prime }(A)} inversible.
Montrer que la matrice {A} est diagonalisable.
Soit {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} . On suppose qu’il existe {P\in \mathbb{C}[X]} tel que {P(A)} soit diagonalisable et {P^{\prime }(A)} inversible.
Montrer que la matrice {A} est diagonalisable.
Polynôme annulateur et trace
(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in \mathcal M_n(\mathbb{R})} telle que {(A+3I_n)(A^{2}+A+I_n)=0}.
Montrer que {\mathrm{tr}(A)\in\Z^{-*}}.
Soit {A\in \mathcal M_n(\mathbb{R})} telle que {(A+3I_n)(A^{2}+A+I_n)=0}.
Montrer que {\mathrm{tr}(A)\in\Z^{-*}}.
Équations matricielles
(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que {A^{3}=I_{3}}, et {b\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}.
Résoudre l’équation {Ax=x-b} où {x\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}.
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que {A^{3}=I_{3}}, et {b\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}.
Résoudre l’équation {Ax=x-b} où {x\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}.
A² diagonalisable ⇒ A diagonalisable?
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A\in GL_{n}(\mathbb{C})} telle que {A^{2}} est diagonalisable. Montrer que {A} est diagonalisable.
Le résultat demeure-t-il si {A\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})} ?
Soit {A\in GL_{n}(\mathbb{C})} telle que {A^{2}} est diagonalisable. Montrer que {A} est diagonalisable.
Le résultat demeure-t-il si {A\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})} ?
Matrices de Mn(ℤ) telles que M³+M+I=0
(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les {n\geq 1} tels qu’il existe {M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z}),\;M^{3}+M+I_{n}=0_{n}}.
Déterminer les {n\geq 1} tels qu’il existe {M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z}),\;M^{3}+M+I_{n}=0_{n}}.
Si A3 = A+In, alors det(A)>0
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que {A^{3}=A+I_{n}}. Montrer que {\det(A)>0}.
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que {A^{3}=A+I_{n}}. Montrer que {\det(A)>0}.
Puissances de polynômes annulateurs
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}. Montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si tout polynôme dont une puissance est annulatrice de {A} est lui même un polynôme annulateur de {A}.
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}. Montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si tout polynôme dont une puissance est annulatrice de {A} est lui même un polynôme annulateur de {A}.
4A³+2A²+A=0, avec A ∈ Mn(ℤ)
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})} avec {4A^{3}+2A^{2}+A=0}. Que dire de {A} ?
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})} avec {4A^{3}+2A^{2}+A=0}. Que dire de {A} ?
Algèbre de matrices diagonalisables
(Oral Centrale Mp)
Toute sous-algèbre d’endomorphismes tous diagonalisables est commutative.
Toute sous-algèbre d’endomorphismes tous diagonalisables est commutative.
Réduction d’une matrice en ᒧ
(Oral Centrale Mp)
Réduction d’une matrice en ᒧ
Réduction d’une matrice en ᒧ
Déterminant et polynômes
(Oral Centrale Mp)
Soit n\in\mathbb{N}, et {P_{n,j}(x)=(1-x)^{j}(1+x)^{n-j}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{n,i,j}x^{i}} pour 0\le j\le n.
On étudie la matrice des coefficients a_{n,i,j} et on calcule son déterminant.
Soit n\in\mathbb{N}, et {P_{n,j}(x)=(1-x)^{j}(1+x)^{n-j}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{n,i,j}x^{i}} pour 0\le j\le n.
On étudie la matrice des coefficients a_{n,i,j} et on calcule son déterminant.
Pas de polynôme annulateur non nul
Montrer le seul polynôme annulateur de u,v,w (éléments de \mathcal{L}(\mathbb{K}[X]) est 0 :
{u(P)=P',\;v(P)=XP(X),\;w(P)=P(X\!+\!1)}
{u(P)=P',\;v(P)=XP(X),\;w(P)=P(X\!+\!1)}
Équation M2-M+MT=In
Trace rationnelle
(Oral Mines-Ponts)
Soient {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension {n} et {f\in \mathcal{L}(E)} tel que : {f^{3}+f^{2}-\text{Id}_{E}=0} et {\text{tr}(f)\in \mathbb{Q}}.
Montrer que {n} est un multiple de {3}.
Soient {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension {n} et {f\in \mathcal{L}(E)} tel que : {f^{3}+f^{2}-\text{Id}_{E}=0} et {\text{tr}(f)\in \mathbb{Q}}.
Montrer que {n} est un multiple de {3}.
Égalité matricielle et trace
(Oral Mines-Ponts)
Déterminer {\{M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}),\;M^{5}=M^{2},\;\text{tr}(M)=n\}}.
Déterminer {\{M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}),\;M^{5}=M^{2},\;\text{tr}(M)=n\}}.
Polynômes caractéristique et minimal
(Oral Ccp)
Soit A dans {\mathcal M}_{5}(\mathbb{R}) inversible, telle que \text{tr}(A)=6 et {A^{3}-3A^{2}+2A=0}. Donner le polynôme caractéristique de {A}, et son polynôme annulateur unitaire minimal.
Soit A dans {\mathcal M}_{5}(\mathbb{R}) inversible, telle que \text{tr}(A)=6 et {A^{3}-3A^{2}+2A=0}. Donner le polynôme caractéristique de {A}, et son polynôme annulateur unitaire minimal.
Diagonalisabilité d’une matrice 4×4
(Oral Centrale)
Diagonalisabilité de {\begin{pmatrix}a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\d & -c & b & a\end{pmatrix}} où {bcd\neq 0}.
Diagonalisabilité de {\begin{pmatrix}a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\d & -c & b & a\end{pmatrix}} où {bcd\neq 0}.
Trace et diagonalisation
(Oral Ccp)
Préciser les éléments propres de {\Phi :M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})\mapsto \text{tr} (M)I_n +M}.
Préciser les éléments propres de {\Phi :M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})\mapsto \text{tr} (M)I_n +M}.
A4=A2 et diagonalisabilité
(Oral XCachan Psi)
Soit {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}. On suppose que {-1,1} sont valeurs propres de {A}, et que {A^{4}=A^{2}}.
Si n=3, montrer que {A} est diagonalisable. Et si {n\ge4}?
Soit {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}. On suppose que {-1,1} sont valeurs propres de {A}, et que {A^{4}=A^{2}}.
Si n=3, montrer que {A} est diagonalisable. Et si {n\ge4}?
Condition de diagonalisabilité
(Oral Ccp)
Soient f,u,v dans {{\mathcal L}(E)} tels que {f^k=a^ku+b^kv} avec a,b non nuls, et 0\le k\le 2.
Montrer que {f} est diagonalisable.
Soient f,u,v dans {{\mathcal L}(E)} tels que {f^k=a^ku+b^kv} avec a,b non nuls, et 0\le k\le 2.
Montrer que {f} est diagonalisable.
Diagonalisabilité de A^2
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} une matrice telle que {A^{2}} soit diagonalisable.
Montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si {\text{Ker}(A)=\text{Ker}(A^{2})}.
Étudier le cas où la matrice A est antisymétrique réelle.
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} une matrice telle que {A^{2}} soit diagonalisable.
Montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si {\text{Ker}(A)=\text{Ker}(A^{2})}.
Étudier le cas où la matrice A est antisymétrique réelle.
Une condition de diagonalisabilité
(Oral Mines-Ponts)
Soient {M,A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}. Soient {\lambda,\mu} dans {\mathbb{C}}, distincts et non nuls.
On suppose que {I_{n}= A + B}, {M = \lambda A + \mu B}, et {M^{2} = \lambda^{2} A + \mu^{2} B}.
Montrer que {A,B} sont des projecteurs et que M est diagonalisable.
Soient {M,A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}. Soient {\lambda,\mu} dans {\mathbb{C}}, distincts et non nuls.
On suppose que {I_{n}= A + B}, {M = \lambda A + \mu B}, et {M^{2} = \lambda^{2} A + \mu^{2} B}.
Montrer que {A,B} sont des projecteurs et que M est diagonalisable.
Réduction de M -> AMB
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A,B} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} et {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}))} définie par {\varphi(M)=AMB}.
Montrer que si A,B sont diagonalisables, \varphi est diagonalisable (deux méthodes)
Soit {A,B} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} et {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}))} définie par {\varphi(M)=AMB}.
Montrer que si A,B sont diagonalisables, \varphi est diagonalisable (deux méthodes)
Matrice unipotente
(Oral Mines-Ponts)
Soit {M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} et {\omega} tel que \omega^p=1 et {\omega^{-1}\notin\text{Sp}(M)}.
Montrer que : {M^{p}=I_{n}\Leftrightarrow\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}\omega^{k}M^{k}=0}
Soit {M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} et {\omega} tel que \omega^p=1 et {\omega^{-1}\notin\text{Sp}(M)}.
Montrer que : {M^{p}=I_{n}\Leftrightarrow\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}\omega^{k}M^{k}=0}
Diagonalisation et suite de puissances
(Oral Ccp)
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} avec des {1} sur les premières et dernières lignes/colonnes, des {0} ailleurs.
Préciser {\text{Sp}(A)}. Montrer : {\forall\, k\ge3,\;\exists\,(\lambda_{k},\mu_{k}),\;A^{k}=\lambda_{k}A+\mu_{k}A^{2}}.
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} avec des {1} sur les premières et dernières lignes/colonnes, des {0} ailleurs.
Préciser {\text{Sp}(A)}. Montrer : {\forall\, k\ge3,\;\exists\,(\lambda_{k},\mu_{k}),\;A^{k}=\lambda_{k}A+\mu_{k}A^{2}}.
Réduction d’une matrice circulante
(Oral Ccp)
Soit {a=(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n-1})\in\mathbb{C}^{n}}.
Diagonaliser {M(a)\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} où {m_{i,j}=a_{(i-j)\!\!\mod n}}
Soit {a=(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n-1})\in\mathbb{C}^{n}}.
Diagonaliser {M(a)\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} où {m_{i,j}=a_{(i-j)\!\!\mod n}}
Inversibilité et déterminant
(Oral Tpe)
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} avec a_{i,j}=1 si j\equiv i\!+\!1\ [n]\!, et a_{i,j}=0 sinon.
Inversibilité de {B_p=\displaystyle\sum_{m=0}^{p-1}A^{m}}, et calcul de {\det(B_p)}.
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} avec a_{i,j}=1 si j\equiv i\!+\!1\ [n]\!, et a_{i,j}=0 sinon.
Inversibilité de {B_p=\displaystyle\sum_{m=0}^{p-1}A^{m}}, et calcul de {\det(B_p)}.
Un endomorphisme diagonalisable
(Oral Mines-Ponts)
Soit {P\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}, avec P^2=P. Diagonalisabilité de {\Phi\colon M\mapsto PM+MP}.
Soit {P\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}, avec P^2=P. Diagonalisabilité de {\Phi\colon M\mapsto PM+MP}.
M^2 diagonalisable => M ?
(Oral Telecom Sud Paris)
Soit {M\in\text{G}L_n(\mathbb{C})}, avec {M^2} diagonalisable. Montrer que {M} est diagonalisable.
Soit {M\in\text{G}L_n(\mathbb{C})}, avec {M^2} diagonalisable. Montrer que {M} est diagonalisable.
Un polynôme caractéristique
(Oral Tpe)
Déterminer \chi_{A} pour {A\in\text{G}L_5(\mathbb{R})}, sachant que {\text{tr}(A)=2} et {A^3+A^2=2A}.
Déterminer \chi_{A} pour {A\in\text{G}L_5(\mathbb{R})}, sachant que {\text{tr}(A)=2} et {A^3+A^2=2A}.
Trace et égalité matricielle
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} avec {A^3+A^2+A+I_n=0}. Montrer que {\text{tr}(A)\leq 0}.
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} avec {A^3+A^2+A+I_n=0}. Montrer que {\text{tr}(A)\leq 0}.
Égalité matricielle et valeurs propres
(Oral Tpe)
Soit {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} vérifiant : {A^2+A+4I_n=0}.
Calculer le déterminant et la trace de {A} en fonction de n.
Soit {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} vérifiant : {A^2+A+4I_n=0}.
Calculer le déterminant et la trace de {A} en fonction de n.
Égalité matricielle et déterminant
(Oral Ensam)
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} telle que {A^3+A-I_n=0}. Montrer que {\det(A)>0}.
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} telle que {A^3+A-I_n=0}. Montrer que {\det(A)>0}.