Séries entières — Polytechnique
41 exercices corrigés de Polytechnique sur le thème « séries entières », en MP–MPI, PSI et PC. rayon de convergence ; dérivation terme à terme ; intégration terme à terme ; produit de Cauchy.
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Matrices et applications linéaires — Polytechnique
16 exercices corrigés de Polytechnique sur le thème « matrices et applications linéaires », en MP–MPI, PSI et PC. trace ; commutation ; matrices par blocs ; exponentielle de matrice.
Séries, familles sommables — Polytechnique
58 exercices corrigés de Polytechnique sur le thème « séries, familles sommables », en MP–MPI, PSI et PC. séries à termes positifs ; comparaison série-intégrale ; convergence absolue ; équivalents.
Suites et séries de fonctions — Polytechnique
27 exercices corrigés de Polytechnique sur le thème « suites et séries de fonctions », en MP–MPI et PC. convergence uniforme ; bornes atteintes ; continuité uniforme ; positivité.
Calcul asymptotique — Polytechnique
15 exercices corrigés de Polytechnique sur le thème « calcul asymptotique », en MP–MPI, PSI et PC. équivalents ; développements asymptotiques ; développements limités ; intégration sur un intervalle quelconque.
Suites numériques — Polytechnique
40 exercices corrigés de Polytechnique sur le thème « suites numériques », en MP–MPI, PSI et PC. suites récurrentes ; monotonie ; équivalents ; diagonalisation.
Fonctions d’une variable réelle — Polytechnique
37 exercices corrigés de Polytechnique sur le thème « fonctions d’une variable réelle », en MP–MPI, PSI et PC. valeurs intermédiaires ; monotonie ; dérivées successives ; théorème de Rolle.
Polynômes et fractions rationnelles — Polytechnique
56 exercices corrigés de Polytechnique sur le thème « polynômes et fractions rationnelles », en MP–MPI, PSI et PC. racines et multiplicités ; racines de l’unité ; relations coefficients-racines ; identification des coefficients.
Arithmétique dans ℤ et dans K[X] — Polytechnique
40 exercices corrigés de Polytechnique sur le thème « arithmétique dans ℤ et dans K[X] », en MP–MPI. congruences ; nombres premiers ; divisibilité ; parité.
Structures Algébriques — Polytechnique
31 exercices corrigés de Polytechnique sur le thème « structures Algébriques », en MP–MPI. morphismes ; ordre d’un élément ; sous-groupes ; raisonnement et ensembles.
Raisonnement et ensembles — Polytechnique
13 exercices corrigés de Polytechnique sur le thème « raisonnement et ensembles », en MP–MPI et PC. cardinal ; parties d’un ensemble fini ; coefficients binomiaux ; borne inférieure.
Nombres réels ou complexes — Polytechnique
12 exercices corrigés de Polytechnique sur le thème « nombres réels ou complexes », en MP–MPI, PSI et PC. identités trigonométriques ; racines de l’unité ; commutation ; diagonalisation.
Convexité, Optimisation — ENS
36 exercices corrigés des ENS sur le thème « convexité, Optimisation », en MP–MPI, PSI et PC. bornes atteintes ; gradient ; topologie des espaces vectoriels normés ; stricte convexité.
Topologie des espaces vectoriels normés — ENS
44 exercices corrigés des ENS sur le thème « topologie des espaces vectoriels normés », en MP–MPI, PSI et PC. densité ; continuité ; applications lipschitziennes ; convexité, Optimisation.
Équations différentielles — ENS
31 exercices corrigés des ENS sur le thème « équations différentielles », en MP–MPI, PSI et PC. problème de Cauchy ; systèmes à coefficients constants ; exponentielle de matrice ; variation des constantes.
Calcul différentiel — ENS
11 exercices corrigés des ENS sur le thème « calcul différentiel », en MP–MPI et PSI. gradient ; dérivées partielles ; convexité, Optimisation ; intégration par parties.
Espaces vectoriels normés — ENS
35 exercices corrigés des ENS sur le thème « espaces vectoriels normés », en MP–MPI, PSI et PC. applications lipschitziennes ; normes usuelles ; normes subordonnées ; normes équivalentes.
Probabilités, variables aléatoires — ENS
84 exercices corrigés des ENS sur le thème « probabilités, variables aléatoires », en MP–MPI, PSI et PC. indépendance ; loi binomiale ; inégalité de Markov ; espérance, variance et covariance.
Espérance, variance et covariance — ENS
60 exercices corrigés des ENS sur le thème « espérance, variance et covariance », en MP–MPI, PSI et PC. indépendance ; formule de transfert ; variables indicatrices ; probabilités, variables aléatoires.
Intégrales à paramètre — ENS
27 exercices corrigés des ENS sur le thème « intégrales à paramètre », en MP–MPI, PSI et PC. dérivation sous l’intégrale ; intégration par parties ; intégration sur un intervalle quelconque ; dérivation sous l’intégrale.
Intégration sur un intervalle quelconque — ENS
29 exercices corrigés des ENS sur le thème « intégration sur un intervalle quelconque », en MP–MPI, PSI et PC. intégrabilité ; changement de variable ; intégration par parties ; intégrales généralisées.
Espaces euclidiens — ENS
72 exercices corrigés des ENS sur le thème « espaces euclidiens », en MP–MPI, PSI et PC. théorème spectral ; matrices définies positives ; matrices positives ; éléments propres.
Intégration sur un segment — ENS
33 exercices corrigés des ENS sur le thème « intégration sur un segment », en MP–MPI, PSI et PC. intégration par parties ; majoration d’intégrales ; changement de variable ; sommes de Riemann.
Réduction des endomorphismes — ENS
60 exercices corrigés des ENS sur le thème « réduction des endomorphismes », en MP–MPI, PSI et PC. diagonalisation ; éléments propres ; commutation ; sous-espaces stables.
Espaces préhilbertiens réels — ENS
28 exercices corrigés des ENS sur le thème « espaces préhilbertiens réels », en MP–MPI et PC. produit scalaire ; projection orthogonale ; intégration sur un segment ; bases orthonormées.
Polynômes d’endomorphismes — ENS
28 exercices corrigés des ENS sur le thème « polynômes d’endomorphismes », en MP–MPI, PSI et PC. polynômes annulateurs ; décomposition des noyaux ; nilpotence ; polynôme minimal.
Groupe symétrique, déterminants — ENS
30 exercices corrigés des ENS sur le thème « groupe symétrique, déterminants », en MP–MPI et PC. signature ; décomposition en cycles ; inversibilité ; diagonalisation.
Espaces vectoriels, applications linéaires — ENS
29 exercices corrigés des ENS sur le thème « espaces vectoriels, applications linéaires », en MP–MPI, PSI et PC. projecteurs ; formes linéaires ; sous-espaces stables ; sommes directes.
Matrices et applications linéaires — ENS
27 exercices corrigés des ENS sur le thème « matrices et applications linéaires », en MP–MPI, PSI et PC. trace ; inversibilité ; commutation ; familles libres.
Suites et séries de fonctions — ENS
29 exercices corrigés des ENS sur le thème « suites et séries de fonctions », en MP–MPI, PSI et PC. convergence normale ; convergence uniforme ; convergence simple ; théorème de Weierstrass.
Calcul asymptotique — ENS
11 exercices corrigés des ENS sur le thème « calcul asymptotique », en MP–MPI, PSI et PC. équivalents ; partie entière ; développements asymptotiques ; domination et négligeabilité.
Séries entières — ENS
25 exercices corrigés des ENS sur le thème « séries entières », en MP–MPI, PSI et PC. rayon de convergence ; intégration terme à terme ; produit de Cauchy ; dérivation terme à terme.
Fonctions d’une variable réelle — ENS
23 exercices corrigés des ENS sur le thème « fonctions d’une variable réelle », en MP–MPI et PC. densité ; théorème de Rolle ; convergence uniforme ; fonctions monotones.
Séries, familles sommables — ENS
45 exercices corrigés des ENS sur le thème « séries, familles sommables », en MP–MPI, PSI et PC. séries à termes positifs ; séries alternées ; sommation par paquets ; sommation par parties.
Structures Algébriques — ENS
57 exercices corrigés des ENS sur le thème « structures Algébriques », en MP–MPI. sous-groupes ; éléments inversibles ; morphismes ; idéaux.
Polynômes et fractions rationnelles — ENS
56 exercices corrigés des ENS sur le thème « polynômes et fractions rationnelles », en MP–MPI et PC. racines et multiplicités ; factorisation ; irréductibilité ; relations coefficients-racines.
Arithmétique dans ℤ et dans K[X] — ENS
37 exercices corrigés des ENS sur le thème « arithmétique dans ℤ et dans K[X] », en MP–MPI et PSI. congruences ; décomposition en facteurs premiers ; nombres premiers ; théorème chinois.
Suites numériques — ENS
38 exercices corrigés des ENS sur le thème « suites numériques », en MP–MPI, PSI et PC. monotonie ; suites récurrentes ; puissances de matrices ; intégration sur un intervalle quelconque.
Raisonnement et ensembles — ENS
8 exercices corrigés des ENS sur le thème « raisonnement et ensembles », en MP–MPI et PC. cardinal ; applications injectives ; Cauchy-Schwarz ; injections et surjections.
Nombres réels ou complexes — ENS
7 exercices corrigés des ENS sur le thème « nombres réels ou complexes », en MP–MPI, PSI et PC. partie entière ; sommes partielles ; principe des tiroirs ; racines de l’unité.
2022-Centrale-InfoCommune-MpPcPsi-Corrigé
Informatique — MP, PC, PSI, TSI — 2022 3 heures. Calculatrice autorisée. Modélisations autour de la Formule 1 Ce sujet s’intéresse à la modélisation de voitures de courses évoluant sur un circuit. Les deux premières parties consistent à représenter un circuit suivant deux modélisations différentes, à vérifier la cohérence de sa représentation puis à le tracer à l’écran.… Read More »
Vrai/Faux (nombres réels)
Un Vrai/Faux (17 questions) portant sur les nombres réels (rationnels et irrationnels, borne sup, partie entière, etc.)
Une matrice de Vandermonde
(Oral Centrale) On considère la matrice de Vandermonde {V}, carrée d’ordre {n}, dont le terme général est {W_n=\omega^{(k-1)(\ell-1)}}, avec {\omega=\exp(2i\pi/n)}. On calcule {\det(V)} et on diagonalise{V^2}.
Décomposition en nilpotents
(Oral Centrale) On montre que tout endomorphisme non inversible d’un {\mathbb{C}}-espace de dimension finie est le composé d’au plus trois endomorphismes nilpotents.
Protégé : art
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Raisonnements par l’absurde (1)
Le centre d’appels téléphoniques
(Oral Mines-Ponts et Centrale)
Un centre d’appel doit contacter {n} clients.
Chacun décroche avec une probabilité {p\in ]0,1[}.
Dans une 1ère vague d’appels, {X_{1}} clients décrochent.
Soit {X_{2}} le nombre de clients qui ne décrochent qu’à la deuxième vague, etc.
{X_{1},X_{2}} sont-elles indépendantes ? Quelle est la loi de {X_k}?
Quelle est la loi du numéro {Y_{i}} de la vague d’appels à laquelle le i-ème client décroche enfin?
Un centre d’appel doit contacter {n} clients.
Chacun décroche avec une probabilité {p\in ]0,1[}.
Dans une 1ère vague d’appels, {X_{1}} clients décrochent.
Soit {X_{2}} le nombre de clients qui ne décrochent qu’à la deuxième vague, etc.
{X_{1},X_{2}} sont-elles indépendantes ? Quelle est la loi de {X_k}?
Quelle est la loi du numéro {Y_{i}} de la vague d’appels à laquelle le i-ème client décroche enfin?
Nilpotent plus diagonalisable
(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie.
Soit {n} un endomorphisme nilpotent de {E}.
Soit {v\in\text{GL}(E)} tel que {vn=nv}.
Montrer que {\det(v+n)=\det(v)}.
Soit {d} diagonalisable tel que {dn=nd}.
Montrer que {\det(d+n)=\det(d)}.
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie.
Soit {n} un endomorphisme nilpotent de {E}.
Soit {v\in\text{GL}(E)} tel que {vn=nv}.
Montrer que {\det(v+n)=\det(v)}.
Soit {d} diagonalisable tel que {dn=nd}.
Montrer que {\det(d+n)=\det(d)}.