Soient {A} une partie bornée non vide d’un espace euclidien, {d} son diamètre, {x\in\operatorname{Conv}(A)} et {n\geq1}.

Montrer qu’il existe {x_1,\ldots,x_n\in A} tels que {\lVert x-n^{-1}\sum\limits_ix_i\rVert\leq d/\sqrt n}.

1) Si {\mathbb E(e^{tX_i})\leq e^{t^2\sigma^2/2}} pour tout {t\in\mathbb{R}} et {1\leq i\leq n}, montrer {\mathbb E(\max_i|X_i|)\leq C\sigma\sqrt{\ln(2n)}} avec {C} universelle.

2) Si {\mathbb{P}(X=k)=\alpha e^{-k^2/2}} sur {\mathbb{Z}}, montrer {\mathbb E(e^{tX})\leq e^{t^2/2}}.

Soit {X\in\mathbb{N}} de loi {\mathbb{P}(X=n)=e^{-n^2}/C}.

Montrer que {\mathbb E(e^{tX})\leq e^{4t^2}} pour {t\in[-1,1]}.

1) Montrer que la matrice de covariance de variables centrées de carré intégrable est symétrique positive.

2) Pour une suite centrée de carré intégrable, de covariance dépendant seulement de {i-j}, avec {V(X_0)>0} et {\operatorname{Cov}(X_n,X_0)\to0}, montrer que chaque matrice de covariance finie est définie positive.

1) Si {n^{-1}\sum\limits_{k=1}^nf(k)\to0}, montrer {Y_n\to m} en probabilité.

2) Si {(f(k))_{k\geq0}} est sommable, calculer {\lim nV(Y_n)}.

1) {\mathbb E(e^{\lambda X})\leq e^{a\lambda^2}} pour un {a>0} et tout {\lambda}.

2) {\mathbb{P}(|X|\geq t)\leq2e^{-bt^2}} pour un {b>0} et tout {t>0}.

3) {\mathbb E(e^{cX^2})\lt \infty} pour un {c>0}.

1) Montrer qu’il existe {C>0} universel tel que toute variable discrète {X\in[0,1]}, non presque sûrement nulle, vérifie {\sup_{t\geq0}t\mathbb{P}(X\geq t)\geq\frac{C\mathbb E(X)}{\ln(2/\mathbb E(X))}.}

2) Construire une suite {(X_n)} de telles variables, d’espérances tendant vers {0}, pour laquelle l’inégalité inverse vaut avec une constante universelle {C'>0}.

Soit {X\in\mathbb{N}} avec {\mathbb E(X)=1}, {\mathbb E(X^2)=2} et {\mathbb E(X^3)=5}.

Quelle est la valeur minimale de {\mathbb{P}(X=0)} ?

Soit {P} uniforme parmi les polynômes unitaires de degré {n\ge1} sur {\mathbb{F}_p}.

Si {N} est son nombre de racines distinctes dans {\mathbb{F}_p}, calculer {\mathbb E(N)} et {V(N)}.

a) Établir Jensen.

b) Donner {X\le_cY} avec {X\ne Y}.

c) Montrer que {\mathbb E(X)=\mathbb E(Y)} et {V(X)\leVY}.

d) Montrer l’équivalence avec l’égalité des moyennes et {\int_a^\infty\mathbb{P}(X\ge t)\,dt\le\int_a^\infty\mathbb{P}(Y\ge t)\,dt} pour tout {a\in\mathbb{R}}.

a) Calculer {\mathbb{P}(k\in E_N)}.

b) Calculer {\mathbb{P}(2\in E_N\mid3\notin E_N)}.

c) Calculer l’espérance et la variance de {|E_N|}.

a) Développer {(x_1+\cdots+x_N)^p}.

b) Si {X_i} sont des Rademacher indépendantes et {X=\sum\limits_i a_iX_i}, montrer que {\mathbb E(X^{2p})\le(2p)^p(\mathbb E(X^2))^p}.

c) Améliorer la constante en {p^p}.

d) Si {\sum\limits_{k\ge1}a_k^2=1} et {Y_x=\sum\limits_{k=1}^na_k\cos(kx)X_k}, montrer que {\int_0^{2\pi}Y_x^{2p}\,dx} prend une valeur au plus {2\pi p^p}.

a) Montrer que {(\mathbb E(|Y|))^2\le \mathbb E(Y^2)}.

b) Calculer {\mathbb E(Y^2)}.

c) Si {\sum\limits a_i^2=1}, montrer que {\mathbb E(Y^2)\le e(\mathbb E(|Y|))^2}.

d) En déduire l’inégalité générale.

a) Calculer l’espérance du nombre {R} de retours à {0} pour {n\ge1}.

b) Montrer que la marche sort presque sûrement de tout intervalle réel distinct de {\mathbb{R}}.

c) Montrer que {R=+\infty} presque sûrement.

a) Calculer moyenne et variance du nombre {X_n} d’arêtes issues de {1}.

b) Pour {n\ge2}, donner la loi du nombre {S_n} de descendants de {2}.

c) Calculer l’espérance du nombre de feuilles.

Une variable réelle {X} est infiniment divisible si elle a un moment d’ordre {2} et si, pour tout {n\ge2}, sa loi est celle d’une somme de {n} variables i.i.d. de carré intégrable.

Montrer que, si {X} est bornée et infiniment divisible, elle est presque sûrement constante.

a) Quelle condition donne {V(X_i)=1} ? La supposer et poser {S_n=\sum\limits_{i=1}^nX_i}.

b) Calculer {V(S_n/\sqrt n)}.

c) Montrer que {\mathbb E(\cos(tS_n/\sqrt n))} est le produit des {\mathbb E(\cos(tX_i/\sqrt n))}.

d) Montrer sa convergence vers {e^{-t^2/2}}.

a) Donner une fonction croissante non constante.

b) Pour {X_i} i.i.d. de Bernoulli {1/2}, exprimer l’espérance de {f(X_1,\ldots,X_n)} en conditionnant par {X_n}.

c) Pour {f,g} croissantes, montrer que {\mathbb E(fg)\ge\mathbb E(f) \mathbb E(g)}.

a) Calculer {\mathbb{P}(\bigcap_{i\in I}A_i)}.

b) Écrire {N} avec des indicatrices, puis calculer moyenne et variance.

c) Pour {F\subset\left\{1,\ldots,n\right\}}, calculer {\sum\limits_{|I|=k}\prod\limits_{i\in I}\mathbf1_F(i)}.

d) Calculer {\mathbb E(N(N-1)\cdots(N-k+1))} pour {k\le n}.

e) Même calcul pour une Poisson de paramètre {1}.

f) Calculer {\mathbb{P}(N=0)}.

a) Calculer moyenne et variance de {S_n}, puis montrer que les probabilités {\mathbb{P}(|S_n-3n/2|\ge\varepsilon n)} et {\mathbb{P}(|S_n-3n/2|\ge\varepsilon n^{2/3})} tendent vers zéro.

b) Donner les valeurs possibles de {T_n=\min\left\{k:S_k\ge n\right\}}.

c) Pour {k\ge2}, établir la récurrence par conditionnement au premier pas.

d) Calculer {\mathbb E(T_n)}.

Soient {G=(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^d}, {n\ge3}, {S=\left\{\pm e_i:1\le i\le d\right\}}, et {X} uniforme sur {G}.

Pour toute {f:G\to\mathbb{R}}, montrer que {\mathbb E(|f(X)-\mathbb E(f(X))|)\le\frac{nd}2 \max_{s\in S}\mathbb E(|f(X)-f(X+s)|).}

a) Montrer que {\nu(x)-10\le|B_x^n|\le\nu(x)}.

b) Pour {X} uniforme sur {\left\{1,\ldots,n\right\}}, montrer que {\mathbb E(|B_X^n|)=\sum_{p\le n^{1/10}}\frac1p+O(n^{-9/10}),}{V|B_X^n|= \sum_{p\le n^{1/10}}\left(\frac1p-\frac1{p^2}\right)+O(n^{-8/10}).}

c) En admettant {\sum\limits_{p\le n}1/p=\log\log n+O(1)}, montrer, pour toute suite {a_n>0} tendant vers l’infini, que {\#\left\{1\le x\le n:|\nu(x)-\log\log n|\ge a_n\sqrt{\log\log n}\right\}=o(n).}

1) Calculer {\mathbb E(|X\mathbin\Delta Y|)}.

2) Soit {D(n)} le cardinal maximal d’une famille {\mathcal A\subset\mathcal P(E)} telle que {|A\mathbin\Delta B|>n/3} pour tous {A\ne B} de {\mathcal A}.

Calculer {D(n)}.

1) Montrer que {Tf(N_\lambda)} est intégrable et d’espérance nulle.

2) Pour des lois {\mu,\nu} sur {\mathbb{N}}, poser {d(\mu,\nu)=\frac12\sup_{\lVert g\rVert_\infty\le1}\mathbb E(g(X)-g(Y))}.

Montrer qu’il existe {C_\lambda>0} tel que {d(N,N_\lambda)\le C_\lambda\sup_{\lVert f\rVert_\infty\le1}\mathbb E(Tf(N))} pour toute variable {N} à valeurs entières positives ou nulles.

Dans un espace euclidien {E}, soient {\lVert v_i\rVert\le1} et {\alpha_i\in[-1,1]}. Posons {w=\sum\limits_i\alpha_iv_i}.

Montrer qu’il existe {\varepsilon_i\in\left\{-1,1\right\}} tels que {\lVert \sum\limits_i\varepsilon_iv_i-w\rVert\le\sqrt n}.

Soient {\sigma>0} et des variables réelles discrètes {X_1,\ldots,X_n} telles que {\mathbb E(e^{sX_i})\le e^{\sigma^2s^2}} pour tout {s>0}.

Montrer que {\mathbb E(\max_iX_i)\le2\sigma\sqrt{\ln n}}.

1) Montrer que {\Gamma(k)=(k-1)!} et {\Gamma(k+1/2)\le k!} pour {k\ge1}.

2) Si {\mathbb{P}(|X|>t)\le2e^{-t^2/(2\sigma^2)}} pour {t>0}, montrer {\mathbb E(|X|^k)\le(2\sigma^2)^{k/2}k\Gamma(k/2)}.

3) Si de plus {\mathbb E(X)=0}, montrer {\mathbb E(e^{sX})\le e^{4\sigma^2s^2}} pour tout {s>0}.

Soit {n\ge3}. Pour {\sigma\in\mathfrak S_n}, une sous-suite alternante est une suite d’indices {i_1\lt \cdots\lt i_\ell} telle que les différences successives {\sigma(i_{k+1})-\sigma(i_k)} alternent de signe. Le premier signe est libre ; les sous-suites de longueur un ou deux sont admises.

Si {\Delta(\sigma)} est la longueur maximale d’une telle sous-suite et {\sigma_n} est uniforme sur {\mathfrak S_n}, calculer {\mathbb E(\Delta(\sigma_n))}.

1) Construire une extraction {\varphi} telle que {\mathbb{P}\left(\bigcap_{N\ge1}\bigcup_{k\ge N} \left\{\left|\frac{S_{\varphi(k)}}{H_{\varphi(k)}}-1\right|>1/k\right\}\right)=0.}

2) Montrer que {(S_n/\ln n)} converge presque sûrement.

a) Calculer la variance d’une variable de Poisson.

b) Soient {a\in\mathbb{N}^\star} et {p} un nombre premier.

Calculer {\mathbb E(X^p\bmod p)} pour {X\sim\mathcal P(a)}, le reste étant pris dans {\left\{0,\ldots,p-1\right\}}.

Soient {(X_n)_{n\ge1}} des variables aléatoires indépendantes de même loi telles que {\mathbb E(X_1^4)\lt +\infty}. Pour {n\ge1}, posons {T_n=n^{-1}\sum\limits_{i=1}^nX_i}.

Montrer que {T_n\to \mathbb E(X_1)} presque sûrement.

Montrer qu’il existe {C>0} tel que, pour tout {n\ge1} et toute matrice {(a_{ij})\in\left\{-1,1\right\}^{n^2}}, il existe {x,y\in\left\{-1,1\right\}^n} tels que {\sum_{i,j=1}^na_{ij}x_iy_j\ge Cn^{3/2}.}

Soient {\theta\in]0,1[} et {X} une variable aléatoire à valeurs dans {\mathbb{R}_+} telle que {\mathbb{P}(X>0)>0}.

Montrer que {\mathbb{P}(X\ge\theta \mathbb E(X))\ge \frac{(1-\theta)^2(\mathbb E(X))^2}{\mathbb E(X^2)}.}

a) Montrer que {d(p,q)\ge0}.

Que dire si {d(p,q)=0} ?

b) Pour {\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} convexe, comparer {\mathbb E(\varphi(X))} et {\varphi(\mathbb E(X))}.

c) Supposons qu’au moins deux {p_k} soient strictement positifs et que {\varphi} soit strictement convexe, c’est-à-dire que {x\ne y,\quad0\lt t\lt 1\quad\Longrightarrow\quad \varphi((1-t)x+ty)\lt (1-t)\varphi(x)+t\varphi(y).}Montrer que {\mathbb E(\varphi(X))>\varphi(\mathbb E(X))}.

d) Si tous les {p_k,q_k} sont strictement positifs, posons {H(p,q)=\sum\limits_{k=0}^np_k\ln(p_k/q_k)}.

Montrer que {H(p,q)\ge0} et caractériser l’égalité.

Soient {\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n} des variables de Rademacher indépendantes.

Montrer que, pour tout {p>0}, il existe {c_p,C_p>0}, indépendants de {n}, tels que, pour tous {z_1,\ldots,z_n\in\mathbb{C}}, {c_p\left(\sum_{i=1}^n|z_i|^2\right)^{1/2} \le\left(\mathbb E(\left|\sum_{i=1}^n\varepsilon_iz_i\right|^p)\right)^{1/p} \le C_p\left(\sum_{i=1}^n|z_i|^2\right)^{1/2}.}

a) Si {p_n\ge(1+\varepsilon)\ln n/n} pour un {\varepsilon\in]0,1[}, montrer que {\mathbb{P}(I_n\ge1)\to0}.

b) Si {p_n\le(1-\varepsilon)\ln n/n}, montrer que {\mathbb{P}(I_n\ge1)\to1}.

Montrer qu’il existe {c>0} tel que, pour tout {n\ge1} et toute partie non vide {S} de {\mathbb{U}_n}, l’ensemble des racines {n}-ièmes de l’unité, il existe un entier {p\le cn/|S|} et {z_1,\ldots,z_p\in\mathbb{U}_n} tels que {\left|\bigcup_{k=1}^pz_kS\right|\ge\frac n2.}

a) Que dire de {C(X)} si les {X_i} sont indépendantes ?

b) Pour {v\in\mathbb{R}^n} et {Y=\langle v,X\rangle}, exprimer {V(Y)} en fonction de {C(X)}.

c) Si les {X_i} sont centrées, exprimer {\mathbb E(\lVert AX\rVert^2)} pour {A\in M_n(\mathbb{R})} en fonction de {C(X)}.

d) Caractériser les matrices {A} qui sont des matrices de covariance.

e) Pour un hyperplan {H} de {\mathbb{R}^n}, montrer que {\mathbb{P}(X\in H)=1} si et seulement si {H^\perp\subset\ker C(X)}.

a) Calculer {u_1,u_2,u_3}, établir {u_{n+2}=u_{n+1}+u_n} et expliciter {u_n}.

b) Calculer la probabilité {P_{1,n}} d’un rectangle vertical tout à gauche, puis sa limite {L}.

c) Calculer l’espérance du nombre {V_n} de rectangles verticaux. Indication : écrire {V_n=\sum\limits_{i=1}^nU_{i,n}}, où {U_{i,n}} indique la présence d’un rectangle vertical en position {i}.

d) Montrer {\mathbb E(V_n)/n\to L}. Indication : séparer les positions proches des bords et celles éloignées d’au moins {\sqrt n} des bords.

e) Calculer la probabilité de présence simultanée de rectangles verticaux en {i,j}.

f) Calculer la variance de {V_n} et en donner un équivalent.

a) Montrer {\operatorname{rg}A=p}.

b) Montrer que {P} est un projecteur orthogonal de rang {p}, et donner son image et son noyau.

c) Montrer {T=Z^{\mathsf T}PZ}.

d) Pour {T_1=\sum\limits_iP_{ii}z_i^2} et {T_2=2\sum\limits_{i\lt j}P_{ij}z_iz_j}, calculer {\mathbb E(T_1)}, {\mathbb E(T_2)}, {\mathbb E(T_1T_2)}.

e) Calculer {\mathbb E(T_1^2)} et {\mathbb E(T_2^2)}.

f) En déduire l’espérance et la variance de {T}.

Soit {X} une permutation uniforme de {\left\{1,\ldots,n\right\}} et {N} son nombre de points fixes.

Calculer {\mathbb E(N)} et {V(N)}.

Soient {n\ge1} et {X_1,\ldots,X_n} des variables aléatoires positives et identiquement distribuées.

Pour {1\le m\le n}, posons {Y_{m,n}=\frac{X_1+\cdots+X_m}{X_1+\cdots+X_n}.}Calculer {\mathbb E(Y_{m,n})}.

On retourne une par une les cartes d’un jeu de {52} cartes.

Trouver l’espérance du nombre de cartes retournées avant d’obtenir le premier as, par un raisonnement intuitif sans calculer la loi.

Soient {(X_n)_{n\ge1}} i.i.d. à valeurs dans {\mathbb{N}}, avec {P(X_1=0)P(X_1=1)\ne0}.

Poser {S_n=X_1+\cdots+X_n}.

Montrer que {P(4\mid S_n)\to1/4}.

Soient {n\ge1} et {p\in]0,1[}. Dans un graphe aléatoire non orienté à {n} sommets, les indicatrices d’arêtes {X_{ij}} sont indépendantes de loi {\mathcal B(p)}. Soit {T_n} le nombre de triangles et {a_n=\binom n3p^3}.

Calculer {\mathbb E(T_n)} et montrer que, pour tout {\varepsilon>0}, {P(|T_n/a_n-1|>\varepsilon)\to0}.

Une urne contient {n\ge2} boules, dont deux rouges et {n-2} blanches. On les tire une à une sans remise, jusqu’à obtenir les deux rouges. En moyenne, combien reste-t-il de boules dans l’urne ?

On ajoute des boules dans une urne vide jusqu’à la première rouge. À chaque étape la probabilité d’une rouge vaut {1/m}, avec {m\in\mathbb{N}^\star}. On mélange puis retire les boules une à une jusqu’à la rouge.

Calculer l’espérance du nombre de boules restantes.

Soient {(X_n)_{n\ge1}} indépendantes, uniformes sur {\left\{-1,1\right\}}. Posons {M_n=(X_1+\cdots+X_n)/\sqrt n}.

Déterminer {\mathbb E(M_n^k)} pour {k\in\mathbb{N}}.

On munit {S_n} de la loi uniforme. Pour {1\le k\le n}, soit {P_k(\sigma)} l’ensemble des {k}-uplets {i_1\lt \cdots\lt i_k} tels que {\sigma(i_1)\lt \cdots\lt \sigma(i_k)}.

Déterminer {\mathbb E(\operatorname{Card}P_k)}.

Pour {x\in\mathbb{R}}, on pose {\gamma(x)=e^{-x^2/2}/\sqrt\pi}. Soient {(X_n)} indépendantes, uniformes sur {\left\{-1,1\right\}}, et {M_n=(X_1+\cdots+X_n)/\sqrt n}.

Montrer que, pour tout polynôme {P}, {\mathbb E(P(M_n))\longrightarrow \int_{-\infty}^{\infty}\gamma(x)P(x)\,dx.}

1) Calculer {\lim_{n\to\infty}\mathbb E(D(X))}.

2) En admettant {\sum\limits_{p\le n,\ p\text{ premier}}1/p\sim\log\log n}, montrer que, pour tout {\varepsilon>0}, {\mathbb{P}(|D(X)/\log\log n-1|\ge\varepsilon)\to0}.

Dans {\mathbb{R}^2} euclidien, soient {\theta\in]-\pi,\pi]}, {p\in]0,1[}, {R(\theta)} la rotation d’angle {\theta} et {M=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}}. Partant de {u_0=(1,0)^{\mathsf T}}, on applique à chaque étape {R(\theta)} avec probabilité {p} ou {M} avec probabilité {1-p}.

Déterminer la limite de {\mathbb E(\lVert u_n\rVert)} pour {\theta=2\pi/3}, puis pour {\theta} quelconque.

Une urne contient {n} boules blanches et une rouge. On tire une boule : si elle est rouge, on s’arrête ; si elle est blanche, avec probabilité {1/2} on la remet et continue, sinon on s’arrête. Soit {X_n} le nombre de boules tirées jusqu’à l’arrêt.

Calculer {\mathbb E(X_n)}.

a) Donner la loi de la taille {K} du cycle contenant {1}.

b) Calculer l’espérance et la variance du nombre {N} de cycles.

Soit {\sigma} uniforme sur les permutations de {\left\{1,\ldots,2n\right\}}. On pose {Y=\sum\limits_{i=0}^{n-1}|\sigma(2i+1)-\sigma(2i+2)|}.

Calculer {\mathbb E(Y)}.

Soient {d\ge1} et {A_0,\ldots,A_d} des variables indépendantes. Pour {k\ge1}, on suppose que {A_k} suit la loi géométrique de paramètre {1/(k+1)}. On pose {P(X)=\sum\limits_{k=0}^dA_kX^k}. Conditionnellement aux coefficients, une racine {z} de multiplicité {m_z} est choisie avec probabilité {m_z/d} ; soit {R} la racine choisie.

Calculer {\mathbb E(R)}.

Soient {a>0} et {f\in C^2(\mathbb{R})} telle que {f''\ge2a}.

Pour une variable réelle {X} admettant une variance, montrer {\mathbb E(f(X))-f(\mathbb E(X))\ge aV(X).}

a) Justifier que {Y_k} est bien définie.

b) Déterminer la limite de {\mathbb E(Y_n)/n}.

a) Calculer {\mathbb E(\lVert X\rVert_1)} et en donner un équivalent lorsque {n\to\infty}.

b) Même question pour {\mathbb E(\lVert X\rVert)_\infty}.

Soient {d,n\ge1} et {X_1,\ldots,X_n} indépendantes de même loi à valeurs dans {\left\{1,\ldots,d\right\}}. On pose {p_k=\mathbb{P}(X_1=k)} et {N_k=|\left\{\ell:X_\ell=k\right\}|}.

Donner la matrice des covariances des {N_k} et préciser son rang.