2) Plus généralement, faire de même pour {X^p-1} lorsque {p} est premier.

Montrer que {M} est inversible.

2) À quelle condition peut-on finir avec une seule boule ?

Montrer que {r_k=(2k)^n/p^n+O(k^{n-1})}.

Trouver les {n\in\mathbb{N}} tels que {(X+Y)^n\equiv X^n+Y^n\pmod p}.

b) Montrer l’analogue dans {\mathbb{C}[X]} pour des polynômes {N_i} deux à deux premiers entre eux.

c) Pour {f,g\in\mathbb{C}[X]} premiers entre eux et {n\ge1}, montrer qu’il existe {h} tel que {g\mid h^n-f}.

Montrer que {M^k\ne I_n} pour tout {k\ge1}.

Montrer qu’il existe {n\ge1} tel que {\sqrt{n^4+an^2+bn+c}\notin\mathbb{N}}.

Montrer que {\Theta(x)=O(x)}.

Montrer qu’il possède un multiple dont l’écriture décimale ne contient que des {9}.

2) Pour {z\in\mathbb{F}_p^\star}, dénombrer les solutions de {x^2+y^2=z}.

En déduire que {p=u^2+v^2} pour deux entiers naturels {u,v}.

Montrer que {z^{n+1}=x_n+\sqrt d\,y_n} pour un unique couple d’entiers naturels {(x_n,y_n)}.

Montrer que {f(z)\in\mathbb{Q}} si et seulement si {z\in\mathbb{Q}(i)}.

Montrer que {\Delta} divise {P(k)} pour tout {k\in\mathbb{Z}}.

Montrer que {s_{n+1}/s_n\to1} si et seulement si deux éléments de {S} ont des logarithmes de quotient irrationnel.

Montrer que {P,Q\in\mathbb{Q}[X]}.

Trouver {z\in\mathbb{Z}} tel que {(y,z)} soit solution et {y>z}.

En déduire que {N} est un carré parfait.

Supposons qu’il existe {a\notin\mathbb{Q}} et {y\in\mathbb{R}} tels que {\sum_{k=0}^nf(x+ka)\le\sum_{k=0}^nf(y+ka)\quad(x\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N}).}Montrer que {f} est constante.