Soient {a\lt 2} et {u\in C^3(\mathbb{R}_+^\star\times\mathbb{R})} vérifiant {u(t,0)=u(t,1)=0} et {u_t=u_{xx}+au}.

Montrer, pour {0\leq k\leq3}, que {\int_0^1(\partial_x^ku(t,x))^2dx\to0} lorsque {t\to\infty}.

Pour {f\in C^1(\mathbb{R}^n)} et {L>0}, montrer l’équivalence entre : {f} convexe à gradient {L}-lipschitzien ; et {\langle\nabla f(x)-\nabla f(y),x-y\rangle\geq L^{-1}\lVert \nabla f(x)-\nabla f(y)\rVert^2.}

a) Donner le domaine, la continuité et la différentiabilité de {f(x,y)=(\log(x^2+y^2),\arctan(y/x))}.

b) En identifiant {\mathbb{R}^2} à {\mathbb{C}}, montrer que {df_{(x,y)}} est {\mathbb{C}}-linéaire.

a) Montrer que {\langle\nabla f(y)-\nabla f(x),y-x\rangle\ge0}.

b) Si {\nabla f} est {L}-lipschitzienne, montrer que cette quantité est au moins {L^{-1}\lVert \nabla f(y)-\nabla f(x)\rVert^2}.

Soient {d\in\mathbb{N}^\star} et {f:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}} de classe {C^2}. Soient {L\ge\ell>0}. On suppose qu’en tout point la hessienne de {f} a son spectre inclus dans {[\ell,L]}. Soient {\tau\in]0,2/L[} et une suite {(u_n)} telle que {u_{n+1}=u_n-\tau\nabla f(u_n)}.

Montrer que {(u_n)} converge.

Soit {f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}} de classe {C^2}. On dit que {f} est harmonique si {\partial_x^2f+\partial_y^2f=0}, et homogène de degré {\lambda\ge0} si {f(tx,ty)=t^\lambda f(x,y)} pour tous {x,y\in\mathbb{R}} et {t\in\mathbb{R}_+}. Soit {\lambda>0}.

Déterminer les fonctions harmoniques et homogènes de degré {\lambda}.

Soit {f(0,0)=0} et, pour {(x,y)\ne(0,0)}, {f(x,y)=\frac{x\sin y-y\sin x}{x^2+y^2}.}La fonction est-elle continue sur {\mathbb{R}^2} ?

Soit {f(0,0)=0} et, pour {(x,y)\ne(0,0)}, {f(x,y)=\frac{xy}{x^4+y^2}.}La fonction est-elle continue sur {\mathbb{R}^2} ?

1) Le résultat est-il toujours vrai pour {n=1} ?

2) Pour {n\ge2}, supposons {\nabla u} non surjectif.

Montrer qu’il existe {c\in\mathbb{R}^n} tel que {f(x)=u(x)-\langle x,c\rangle} vérifie la même croissance et possède un gradient ne s’annulant pas.

3) Pour {a,b\in\mathbb{R}^n\setminus B_r}, construire un chemin continu les reliant dans ce complément et en déduire que {f(\mathbb{R}^n\setminus B_r)} est un intervalle.

4) Montrer que {f} garde un signe constant hors d’une boule assez grande. Si {f} était majorée sur le complément d’une boule, montrer qu’elle atteindrait un maximum global et obtenir une contradiction.

5) Montrer que {f(\mathbb{R}^n\setminus B_r)=\mathbb{R}}.

6) En déduire une suite {f(u_j)=0}, {\lVert u_j\rVert\to\infty}, et conclure.

1) En dimension {1}, donner un exemple non affine.

2) Calculer la dérivée de {g(t)=f(x+th)-f(x)}.

Montrer que {f\in\mathcal Q} équivaut à : {f(y)\le f(x)\Longrightarrow\langle\nabla f(x),y-x\rangle\le0}.

3) Si {f\in C^2}, calculer {g''(0)} et étudier son signe lorsque {\langle\nabla f(x),h\rangle=0} et {f\in\mathcal Q}.

a) i) Montrer que la norme est {C^1} sur {E\setminus\left\{0\right\}} et calculer sa différentielle.

ii) Si {H} est un sous-espace et {x\in H} minimise {\lVert x-a\rVert}, montrer que {x-a\in H^\perp}.

b) Pour {\varphi(x)=\lVert x-a\rVert+\lVert x-b\rVert}, calculer la différentielle là où elle existe, trouver ses points critiques puis ses extrema.

c) Déterminer les extrema de {\rho(x,y)=\sqrt{(1-x)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(1-y)^2}}.

d) i) Si {A,B,C} forment un triangle aigu, montrer que {\Psi(M)=AM+BM+CM} a un minimum en un point {O} tel que les trois angles entre {\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}} valent {2\pi/3}.

ii) Que se passe-t-il pour un triangle équilatéral ?

iii) Que conclure dans le cas général ?