Question 1) Si {P\in\mathbb{C}[X]} prend des valeurs rationnelles en une infinité d’entiers naturels, montrer que {P\in\mathbb{Q}[X]}.

Question 2) Soient {P,Q\ne0} complexes, {\deg P\leq\deg Q}, {F=P/Q} et {Q(\alpha)\ne0}.

Montrer qu’il existe {P_1\in\mathbb{Q}[X]}, de degré strictement inférieur à celui de {P}, tel que {(F(X)-F(\alpha))/(X-\alpha)=P_1/Q}.

Question 3) Si {F\in\mathbb{C}(X)} prend des valeurs rationnelles en une infinité d’entiers naturels, montrer que {F\in\mathbb{Q}(X)}.

Question 1) Montrer qu’il existe {P_n\in\mathbb{R}[X]} tel que {\sin(4n\theta)=\cos\theta\sin\theta P_n(\cos^2\theta)}.

Question 2) Calculer {\prod\limits_{k=1}^{2n-1}\cos(4k\pi/n)} puis {\prod\limits_{k=1}^{2n-1}\cos((2k-1)\pi/n)}.

Soit {P\in\mathbb{R}[X]} de degré {n>0}.

Montrer que {P} a {n} racines réelles simples si et seulement si {\forall i\in\left\{1,\ldots,n-1\right\},\ \forall x\in\mathbb{R},\quad (P^{(i)}(x))^2-P^{(i-1)}(x)P^{(i+1)}(x)>0.}

Soit {p} premier, d’écriture décimale {p=\overline{a_n\cdots a_0}}.

Montrer que {P(X)=\sum\limits_{k=0}^n a_kX^k} est irréductible dans {\mathbb{Z}[X]}.

Question 1) Montrer que {(P_0,\ldots,P_n)} est une base de {\mathbb{C}_n[X]} et que {P_k(\mathbb{Z})\subset\mathbb{Z}}.

Question 2) Montrer qu’un polynôme de degré au plus {n} prenant des valeurs entières en {n+1} entiers consécutifs est à valeurs entières sur {\mathbb{Z}}.

Question 3) Le résultat subsiste-t-il sans l’hypothèse de consécutivité ?

Question 4) Caractériser les polynômes à valeurs entières sur {\mathbb{Z}}.

Question 1) Montrer que {\Phi_n=\prod\limits_{0\leq k\leq n,\ (k,n)=1}(X-e^{2ik\pi/n})}.

Question 2) Montrer que {\Phi_n\in\mathbb{Z}[X]}.

Question 3) Pour deux premiers distincts {p,q}, montrer que les coefficients de {\Phi_{pq}} appartiennent à {\left\{0,1,-1\right\}}.

Question 4) Donner le coefficient de {X^7} dans {\Phi_{105}}.

Question 1) Déterminer les unités de {\mathbb{Z}[X]}.

Question 2) Si {c(P)} est le pgcd positif des coefficients d’un polynôme entier non nul, montrer que {c(PQ)=c(P)c(Q)}.

Question 3) Caractériser les irréductibles et établir la factorisation unique dans {\mathbb{Z}[X]}.

Question 1) Montrer qu’il existe une unique suite {L_n\in\mathbb{C}[X,Y]} telle que {L_n(a+b,ab)=a^n+b^n}.

Question 2) Expliciter {L_3}.

Question 3) Pour {P=X^3-pX-q}, montrer qu’il existe {\alpha,\beta\in\mathbb{C}} tels que {L_3(X,\alpha\beta)-\alpha^3-\beta^3=P}.

Soit {n\geq2} et {G_n=\left\{\sum\limits_{k=1}^{n-1}a_kX^k:a_1\ne0\right\}}.

Montrer que la composition tronquée modulo {X^n}, notée {P\star Q}, est bien définie et fait de {G_n} un groupe de neutre {X}.

Question 1) Montrer que {P_n} est simplement scindé sur {\mathbb{R}} pour {n} assez grand.

Question 2) Donner un équivalent de sa {k}-ième racine croissante {x_n^{(k)}}.

Question 3) Montrer que {P_n} est irréductible dans {\mathbb{Z}[X]} pour tout {n\geq1}.

Soient {a,b\in\mathbb{R}} et {n\geq3} impair.

Étudier le nombre de racines réelles distinctes de {X^n+aX+b}.

Question 1) Montrer que les polynômes de degré {n} simplement scindés sur {\mathbb{C}} forment un ouvert de {\mathbb{C}_n[X]}.

Question 2) Pour {P_t=X^n-tX-1}, construire près de {t=0} des racines continues {x_1(t),\ldots,x_n(t)} telles que {P_t=\prod\limits_i(X-x_i(t))}.

Soient {f} entière et {P\in\mathbb{C}[X]} de degré {k\geq1}.

Montrer qu’il existe une fonction entière {g} et {Q\in\mathbb{C}_{k-1}[X]} tels que {f=gP+Q}.

Question 1) Dans un polygone régulier à {n} sommets sur le cercle unité, calculer le produit des distances d’un sommet aux autres.

Question 2) Pour {\alpha,\beta\in\mathbb{R}}, décrire {E=\left\{\alpha\zeta+\beta\zeta^{-1}:|\zeta|=1\right\}} comme une ellipse.

Question 3) Calculer le produit analogue pour les images des racines {n}-ièmes de l’unité par ce paramétrage.

Question a) Montrer que {P_n} est simplement scindé sur {\mathbb{C}}.

Question b) Si {n} est impair, montrer qu’il possède une unique racine réelle, appartenant à {[-n,-1]}.

Question c) Et si {n} est pair ?

Question d) Étudier les variations et la convexité de {P_n}.

Question a) S’il est scindé sur {\mathbb{R}}, montrer que {nPP''\le(n-1)(P')^2} sur {\mathbb{R}}.

Question b) Donner un polynôme ne vérifiant pas cette inégalité, puis un polynôme non scindé qui la vérifie.

Montrer que, pour tout {n\ge0}, il existe {a_0,\ldots,a_n>0} tels que tout polynôme {\sum\limits_{k=0}^n\varepsilon_ka_kX^k}, avec {\varepsilon_k\in\left\{-1,1\right\}}, soit scindé sur {\mathbb{R}}.

Deux polynômes réels sont entrelacés s’ils sont scindés à racines simples, sans racine commune, et si entre deux racines consécutives de chacun figure exactement une racine de l’autre.

Montrer que, si {\lambda P+\mu Q} est scindé à racines simples pour tous {\lambda,\mu\ne0}, alors {P,Q} sont entrelacés.

Soit {P\in\mathbb{C}[X]} de degré {n>0}, avec {P(0)=0} et {P'(0)=1}.

Si {D_r=\left\{z:|z|\lt r\right\}}, montrer que {D_{1/n}\subset P(D_1)}.

Question a) Montrer que {C(X^2+\alpha)} contient au plus un polynôme de degré {n}.

Question b) Construire une famille avec {P_2=X^2}.

Question c) Construire {T_n} tel que {\cosh(nx)=T_n(\cosh x)}.

Question d) Montrer que les {T_n} commutent.

Question e) Montrer que les polynômes de degré {1} sont inversibles pour {\circ}.

Question f) Montrer que tout polynôme quadratique s’écrit de façon unique {U\circ(X^2+\alpha)\circ U^{-1}}, avec {\deg U=1}.

Question g) Montrer que toute famille commutante est conjuguée à {(X^n)} ou à {(T_n)}.

Définir {f_k^{(0)}=\delta_{k0}}, {f_{-1}^{(n)}=0} et {f_k^{(n+1)}(x_1,\ldots,x_{n+1})= f_{k-1}^{(n)}(x_1,\ldots,x_n)-x_{n+1}f_k^{(n)}(x_1,\ldots,x_n).}Montrer que chaque {f_k^{(n)}} est symétrique.

Question a) À quelle condition {\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} est-il un corps ?

Question b) Dans ce cas, combien contient-il de polynômes de degré {d} ?

Question c) Montrer que, pour tout premier {p}, il existe des polynômes unitaires irréductibles de degrés {2} et {3} dans {\mathbb{F}_p[X]}.

Déterminer les fonctions {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} dont toutes les puissances {f^n}, {n\ge2}, sont polynomiales.

Question a) Montrer que son nombre de racines dans le disque unité, avec multiplicité, vaut {\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{it}P'(e^{it})/P(e^{it})\,dt}.

Question b) Si {Q} ne s’annule pas sur ce cercle et {|P-Q|\lt |Q|} sur celui-ci, montrer que {P,Q} ont le même nombre de racines dans le disque.

Question a) Construire uniquement {T_n\in\mathbb{Z}[X]} tel que {T_n(2\cos\theta)=2\cos(n\theta)}.

Question b) Trouver son terme dominant pour {n\ge1} et déterminer les {r\in\mathbb{Q}} tels que {\cos(\pi r)\in\mathbb{Q}}.

Question c) Déterminer les triangles à côtés rationnels dont les angles sont des multiples rationnels de {\pi}.

Soit {P\in\mathbb{C}[X]} non constant, à coefficients dans {\left\{-1,1\right\}}.

Montrer que toute racine {z} de {P} vérifie {|z|\lt 2}.

Soient {m\ge1} et {a_0,\ldots,a_m\in\mathbb{R}}.

Poser {f(X,Y)=\sum\limits_{k=0}^ma_kX^{m-k}Y^k} et supposer que {f(X,1)} est scindé sur {\mathbb{R}}.

Montrer que pour tous {n,p\in\mathbb{N}}, {\frac{\partial^{n+p}f}{\partial X^n\partial Y^p}(X,1)} est nul ou scindé sur {\mathbb{R}}.

Question 1) Montrer que l’ensemble des {x_{k,n}} est borné.

Question 2) Montrer, pour {n\ge2}, {\sum\limits_{k=1}^nx_{k,n}^2=(a_{n-1}^2-2a_{n-2}a_n)/a_n^2}.

Question 3) Montrer que {P_n} n’est pas scindé sur {\mathbb{R}} pour {n} assez grand.

Soit {P=X^n+\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_kX^k}, {n\ge2}, avec {a_{n-1}\in\mathbb{R}_+} et les autres coefficients complexes.

Pour {M=\max(|a_0|,\ldots,|a_{n-2}|)}, montrer que toute racine {z} vérifie {\operatorname{Re}z\le0} ou {|z|\le(1+\sqrt{1+4M})/2}.

Si {p} est premier et s’écrit {p=\overline{c_nc_{n-1}\cdots c_0}^{\,b}} en base entière {b\ge3}, montrer que {\sum\limits_{k=0}^nc_kX^k} est irréductible dans {\mathbb{Z}[X]}.

Question 1) Montrer l’existence d’une famille presque nulle {(e_i)_{i\ge0}} de polynômes symétriques homogènes avec {\prod\limits_{j=1}^n(1+tX_j)=\sum\limits_{i\ge0}e_it^i}.

Question 2) Montrer l’existence de polynômes symétriques homogènes {(h_i)_{i\ge0}} tels que, près de {t=0}, {\prod\limits_{j=1}^n(1-tx_j)^{-1}=\sum\limits_{i\ge0}h_i(x_1,\ldots,x_n)t^i}.

Question 3) Soit {\mathcal P_n=\left\{\lambda\in\mathbb{N}^n: \lambda_1\ge\cdots\ge\lambda_n\right\}} et {\Lambda(\alpha)} le réordonnement décroissant de {\alpha}.

Poser {m_\lambda=\sum\limits_{\Lambda(\alpha)=\lambda}X_1^{\alpha_1}\cdots X_n^{\alpha_n}}.

Calculer {m_{(2,1,0,0)}} et {m_\lambda} si {\lambda} contient {r} uns et {n-r} zéros.

Question 4) Pour {\lambda,\mu\in\mathcal P_n}, soit {M_{\lambda,\mu}} le nombre de matrices {n\times n} à coefficients zéro ou un, de sommes de lignes {\lambda_i} et de sommes de colonnes {\mu_j}.

Montrer {\prod\limits_{i=1}^ne_{\lambda_i}=\sum\limits_{\mu\in\mathcal P_n}M_{\lambda,\mu}m_\mu}.

Question 1) Si {A+B=C}, montrer {\max(\deg A,\deg B,\deg C)\le M(ABC)-1}. En posant {W_{P,Q}=PQ'-P'Q}, montrer successivement {W_{A,B}=W_{C,B}=W_{A,C}\ne0} et {\deg\gcd(A,A')+\deg\gcd(B,B')+\deg\gcd(C,C')\le\deg W_{A,B}}.

Question 2) Pour {d\ge1}, donner un exemple avec {\deg A=d} et égalité dans la borne.

Question 3) Si {A,B,C} sont premiers entre eux dans leur ensemble et {A^n+B^n=C^n}, {n\ge1}, montrer {n\le2} et donner des solutions pour {n=2}.

Soient {P,Q\in\mathbb{R}[X]} unitaires. Ils sont dits entrelacés lorsqu’entre deux racines consécutives de l’un, en tenant compte des multiplicités, se trouve exactement une racine de l’autre. Supposer {\deg Q=\deg P-1}, {Q} scindé à racines simples et {P,Q} sans racine commune.

Poser {F=P/Q} et {H=\left\{z\in\mathbb{C}:\operatorname{Im}z>0\right\}}.

Montrer l’équivalence entre : {P} est scindé et entrelacé avec {Q} ; {F(H)\subset H}.

Soient {r>0}, {E\subset\mathbb{R}^2} rencontrant toute boule euclidienne de rayon {r}, et {P\in\mathbb{R}[X,Y]} nul sur {E}.

Montrer que {P=0}.

Question 1) Montrer que {\cos(k\theta)}, {\sin((k+1)\theta)/\sin\theta}, {\cos((k+1/2)\theta)/\cos(\theta/2)} et {\sin((k+1/2)\theta)/\sin(\theta/2)} sont des polynômes en {\cos\theta}.

Question 2) Pour des réels {a_0,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n}, supposons {g(\theta)=a_0+\sum\limits_{k=1}^n(a_k\cos(k\theta)+b_k\sin(k\theta))\ge0} pour tout {\theta}.

Montrer qu’il existe {P\in\mathbb{C}[X]} tel que {g(\theta)=|P(e^{i\theta})|^2}.

Soient {P\in\mathbb{C}[X]} non constant avec {P(0)\ne0}, {r>0} et {z_1,\ldots,z_p} ses racines de module strictement inférieur à {r}, comptées avec multiplicité.

Montrer que {\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\ln|P(re^{it})|dt =\ln|P(0)|+\sum_{k=1}^p\ln\frac r{|z_k|}.}

Question a) Déterminer les éléments tels que {x=y} ou {y=z}.

Question b) Montrer qu’une infinité d’éléments vérifient {x=1}.

Question c) Pour {f(x,y,z)=(y,z,3yz-x)} et {g(x,y,z)=(x,z,3xz-y)}, montrer que {S} est l’ensemble des images de {(1,1,1)} par toutes les composées de {f,g}.

Soit {P=X^n-a_1X^{n-1}+a_2X^{n-2}+\cdots+(-1)^na_n} scindé sur {\mathbb{R}}, de racines {x_1,\ldots,x_n}.

Montrer que, pour {1\le k\le n}, {\left|x_k-\frac{a_1}n\right|\le\frac{n-1}n\sqrt{a_1^2-\frac{2n}{n-1}a_2}.}

Soient {n,m\in\mathbb{N}^\star}, {m\lt n}. Soit {\mathcal P_{n,m}} l’ensemble des polynômes complexes de degré {n}, dont zéro est racine d’ordre {m} et dont toutes les autres racines ont un module supérieur ou égal à {1}.

Déterminer {\inf\left\{|z|:z\ne0,\ \exists P\in\mathcal P_{n,m},\ P'(z)=0\right\}}.

Soient {P_1,\ldots,P_n,Q_1,\ldots,Q_n} des polynômes réels et {f(x)=\sum\limits_{k=1}^nP_k(x)e^{Q_k(x)}}.

Montrer que, si {f} n’est pas identiquement nulle, elle n’a qu’un nombre fini de zéros.

Déterminer les segments réels {S} non réduits à un point sur lesquels les polynômes à coefficients entiers sont denses dans {C^0(S,\mathbb{R})} pour la norme uniforme.

1) Déterminer {C(P)} lorsque {\deg P=1}.

2) Pour {\alpha\in\mathbb{C}}, déterminer les polynômes de degré {1} de {C(X^2+\alpha)}.

3) Déterminer exactement {C(X^2)}.

4) Pour {n\ge1}, montrer que {C(X^2+\alpha)} contient au plus un polynôme de degré {n}.

1) Montrer que {F\subset E}.

2) Montrer que {F} est stable par produit.

3) Pour {P\in E}, étudier son degré et les multiplicités de ses racines réelles.

4) Montrer que {E=F}.

5) Pour {a\lt b}, soit {E'} l’ensemble des polynômes non négatifs sur {[a,b]}. Soit {F'} l’ensemble des {(X-a)P+(b-X)Q+(X-a)(b-X)R+S}, avec {P,Q,R,S\in E}.

Montrer que {E'=F'}.

1) Montrer que {aP+P'} est scindé pour tout {a\in\mathbb{R}}.

2) Si {Q=\sum\limits_{k=0}^nb_kX^k} est scindé sur {\mathbb{R}}, montrer que {\sum\limits_{k=0}^nb_kP^{(k)}} est scindé sur {\mathbb{R}}.

1) Pour {N\ge n} fixé, montrer qu’il existe {\varepsilon>0} tel que tout {Q} de degré dans {\left\{n,\ldots,N\right\}} avec {\lVert P-Q\rVert\le\varepsilon} possède au moins autant de racines réelles que {P}.

2) La conclusion demeure-t-elle sans majoration du degré de {Q} ?

1) Montrer que toutes les racines ont un module au plus {1}, et que {1} est la seule de module {1}.

2) Montrer qu’elles sont simples, en considérant {Q=(X-1)P}.

3) Pour {\alpha_0,\ldots,\alpha_{r-1}\in\mathbb{C}}, soit {u_j=\alpha_j} pour {0\le j\lt r} et {u_{n+r}=r^{-1}\sum\limits_{j=0}^{r-1}u_{n+j}}.

Montrer que {(u_n)} converge et calculer sa limite.

Pour {P\in\mathbb{R}[X]} et {\varepsilon>0}, posons {M_\varepsilon=\left\{t\in\mathbb{R}:|P(t)|\le\varepsilon\right\}}. Calculer {\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac1\varepsilon \int_{\mathbb{R}}\mathbf1_{M_\varepsilon}(x)|P'(x)|\,dx.}

Soient {a,b\in\mathbb{Z}} distincts.

Trouver tous les {P\in\mathbb{Z}[X]} tels que {P(a)=b} et {P(b)=a}.

Soient {P_1,P_2,P_3,P_4\in\mathbb{R}[X]}.

Montrer qu’il n’existe aucun voisinage ouvert de {0} sur lequel on ait simultanément {x\lt 0:\ P_1(x)\lt P_2(x)\lt P_3(x)\lt P_4(x),}{x>0:\ P_2(x)\lt P_4(x)\lt P_1(x)\lt P_3(x).}

Soient {0\le x_0\lt x_1\lt \cdots\lt x_n\le1}.

Montrer qu’il existe {\alpha_0,\ldots,\alpha_n\in\mathbb{R}} tels que {\forall P\in\mathbb{R}_n[X],\qquad \int_0^1P(t)dt=\sum_{k=0}^n\alpha_kP(x_k).}

a) Montrer qu’il existe une solution polynomiale en {x}.

b) Si {P} est scindé à racines réelles simples et {f} une solution polynomiale en {x}, montrer que {f(t,\cdot)} reste scindé à racines réelles simples pour {0\le t\lt \varepsilon}, avec {\varepsilon>0}.

a) Sur le cercle trigonométrique {C}, soient {A=(-1,0)} et {P=(x,y)\ne A}. La droite {(AP)} coupe l’axe des ordonnées en {Q=(0,t)}.

Exprimer {t} en fonction de {x,y}.

b) Exprimer {x,y} en fonction de {t}.

Que reconnaît-on ? Expliquer géométriquement.

Peut-on paramétrer {C\setminus\left\{A\right\}} par des fractions rationnelles ?

c) Peut-on paramétrer un arc non réduit à un point de {C} par {(P(t),Q(t))}, {t} dans un intervalle, avec {P,Q} polynômes réels ?

Et avec des polynômes à coefficients complexes ?

Soient {a,b\in\mathbb{R}} et {P=X^4+aX^3+bX^2+X}. Ses racines sont supposées distinctes et situées sur un même cercle du plan complexe.

Montrer que {3\lt ab\lt 9}.

Soit {P_0\in\mathbb{R}[X]} de degré au moins {2} et {P_{n+1}=XP_n'}.

Montrer qu’il existe des réels {\lambda_n>0} tendant vers {0} tels que toutes les racines de {P_n} aient un module au plus {\lambda_n}.

Soit {f(t)=\sum\limits_{k=1}^N a_k\sin(2\pi kt)}, où les {a_k} sont réels et {a_N\ne0}. On note {N_j} le nombre de racines, comptées avec multiplicité, de {f^{(j)}} sur {[0,1]}.

Montrer que {(N_j)} est croissante et tend vers {2N}.

a) {R} est-elle linéaire ? bijective ?

b) Déterminer les polynômes tels que {R(P')=R(P)'}.

Soit {f(x)=ax^2+bx+c}, avec {a>0}. Posons {E=\left\{(x,y):y\ge f(x)\right\}} et {C=\left\{(x,f(x)):x\in\mathbb{R}\right\}}.

Pour {X\in E} et un vecteur non nul {v}, montrer que la droite {\left\{X+\lambda v:\lambda\in\mathbb{R}\right\}} rencontre {C}.